4.4 Модели механических систем на микроуровне

Модели механических систем на микроуровне решают задачи анализа в напряженно-деформированном состоянии отдельных элементов. Значение напряжений и деформации позволяют оценить прочность, долговечность, виброустойчивость конструктивных элементов и осуществит поиск их оптимальных размеров и конфигурации. Современные методы анализа напряженно – деформированного состояния базируются на исполнении модели с распределенными параметрами, в основе которых лежит теория упругости. Динамические модели различных элементов сводятся к стержневым, пластинчатым, оболочечным или объемным системам, находящимся под действием производных механических нагрузок (сосредоточенных, распределенных, детерминированных, случайных и т.д.). математической моделью анализа напряженно – деформированного состояния элемента механической системы является основное уравнение теории упругости уравнение Ламе. Это уравнение выводится из условия динамического равновесия твердого тела под действием приложенных к нему сил, включая силы инерции.

Выделим в твердом теле элементарный параллепипед и сформулируем условие его равновесия: « геометрическая сумма сил приложена к выделенному элементарному параллепипеду, включая его силе инерции = 0, при этом учитываются распределенные нагрузки на грани параллепипеда и массовые силы. Распределенные нагрузки представляются нормальными напряжениями и касательными . Учитывая закономерности касательных напряжений, согласно которому , получаем уравнение равновесия проекций на оси x₁, x₂, x₃:

(4.46)

где i=1, 2, 3; - плотность материала твердого тела; - перемещение элементов вдоль оси x_i; - напряжения, действующее в направлении оси x_i в гране элемента перпендикулярной оси x_i; - проекция вектора массовых сил по ось x_i; g- вектор ускорения свободного падения.

Напряжение связана с деформациями , а последние – с перемещениями .

В случае линейной зависимости между ними в устанавливаемой законом Гука, имеем

(4.47)

(4.48)

где -деформация, вычисляемая по формуле: (4.49)

где и - постоянные Ламе, характеризующие упругие свойства среды.

(4.50)

(4.51)

E- Модуль упругости; - коэффициент Пуассона.

Заменяя напряжение на деформацию в уравнениях равновесия (4.46) получаем основное уравнение теории упругости, называемое уравнением Ламе:

(4.52)

где - вектор перемещений.

5. Теория систем с распределенными параметрами

Модели на микроуровне описываются дифференциальными уравнениями с частными производными, а объекты моделирования представляют собой систему с распределенными параметрами (СРП), состояние которых описывается функциями нескольких аргументов, зависящих как от времени, так и от пространственных координат.

5.1. Базовое уравнение объектов с распределенными параметрами

- функция состояния (выход объекта СРП) определенная по пространственной переменной , принадлежащей (- замкнутая область), удовлетворяет уравнению.

(5.1)

(область без учета границ).

где - открытая часть области , не содержащая границ;

- некоторый заданный оператор (линейная функция , частные производные от по и различных порядков, интегральный оператор по и т.д. Конкретный вид определяется содержанием описываемого процесса).

- известная функция, характеризующая внешнее воздействие на процесс (вход объекта СРП).

Если , то уравнение (5.1) – однородное. Если , то уравнение неоднородное.

Для получения единственного решения уравнение (5.1) надо дополнить начальными условиями, которые описываются некоторым линейным оператором следующего вида.

(5.2)

где - начальная функция, описывающая искомую функцию в замкнутой области в начальный момент времени.

Если , то начальные условия (5.2) называются нулевыми, иначе – ненулевыми. Условие (5.2) необходимо, но недостаточно для выделения единственного решения (5.1), что является принципиальной особенностью СРП по сравнению с системой сосредоточенными параметрами (ССП). Полная система соотношений должна содержать граничные условия для , которые характеризуют с внешней средой для для границ области , которые описываются зависимостью вида.

(5.3)

- граница области;

- линейный оператор

можно рассматривать как второй вход объекта наряду с .

Уравнения (5.1) - (5.3) с заданными линейными операторами составляющие краевую задачу, - базовая модель для математического описания объекта СРП. Для простейшего случая пространственной распределенности по одной координате , изменяющейся от до (однородная задача) уравнение (5.1)запишется в виде:

(5.4)

здесь - заданные функции. Как правило, константы.

В зависимости от дискриминанта различают следующие классы уравнений:

- уравнения гиперболического типа;

- уравнения параболического типа;

- уравнение эллиптического типа смешанная задача, когда меняет знак в области допустимых изменений и .

Уравнения гиперболического типа

Содержат вторые производные, как по времени , так и по координате . Описывают колебательные процессы различной природы (механические, электромагнитные звуковые и т.д.) связанные с конечной скоростью распределения волновых явлений.

Например, для (5.4)

(5.5)

Уравнение (5.5) – волновое уравнение, моделирует процессы распространения свободных колебаний.

При уравнение (5.5) описывает вынужденные колебания под влиянием внешнего воздействия

Рассмотрим другой тип гиперболических уравнений называемый телеграфными.

(5.6)

(5.6) описывает распределение напряжения и тока вдоль длинной электрической линии.

- скорость распространения электромагнитной волны вдоль линии.

При (5.6) сводится к волновому уравнению. При моделирует процессы механических колебаний в сопротивляющейся среде.

Уравнение параболического типа

Содержат первую производную и вторую производную по . Описывают задачи, связанные с процессами теплопроводности, диффузии, движения вязкой жидкости и т.д.

(5.7)

(5.7)- уравнение теплопроводности (уравнение Фурье)

Описывает температурные поля процессов теплопроводности, тепломассопереноса, электромагнитного поля и т.д. также это уравнение может быть неоднородным учитывающее внешнее воздействие от внутренних источников вещества и энергии.

Уравнение эллиптического типа

Отсутствует производная по времени . Описывают статическое состояние объекта СРП.

(5.8)

(5.9)

(5.10)

(5.8) – уравнение Гельмгольца, описывает многие физические процессы теплопроводности, диффузии в движущихся средах, напряженности магнитное поле установившиеся колебания различной природы.

(5.9) – уравнение Пуассона

(5.10) – уравнение Лапласа

Моделирует распределение температурного потенциала скоростей, при стационарном течении несжимаемой жидкости, потенциала электрического поля в задачах электростатики и т.д. при отсутствии или наличии внешних воздействий.