4.2 Модели тепловых систем на микроуровне
Процесс переноса
тепловой энергии (теплоты) в пространстве
с неоднородным поле температуры
называется теплообмен.
Теплообмен может осуществляться
теплопроводностью, конвекцией и тепловым
излучением, температурным
полем
называется совокупность температурных
значений для всех точек пространства
в данный момент времени. Температурное
поле скалярное, т.к. температура –
скалярная величина. Если температура
Т является функцией только пространственных
координат Т(x,y,z),
то процесс теплообмена стационарный и
температурное поле стационарное. Если
измеряется
во времени, соответственно, не стационарная,
на микроуровне используют уравнение
теплопроводности связывающее измерением
во времени и пространстве со свойствами
среды. Уравнение
теплопроводности
может быть получено на
основе закон сохранения энергии,
которая применительно к тепловой системе
можно сформулировать: изменение во
времени количество тепловой энергии в
элементарном объеме равно сумме
притока-стока энергии через его
поверхность с учетом выделения энергии
в том же объеме, в единице времени
внутренними источниками (или поглощение
энергии стоками).
(4.13)
Q-
количество тепловой энергии в единицу
объема 
;
g-
вектор плотности теплового потока 
;
-
количество тепловой энергии, выделяемой
в единицу времени, рассматривается в
элементарном объеме 
.
Выделения или
поглощение тепловой энергии внутри
тела может, происходит из за объемных
химических реакций, прохождение
электрического тока, фазовых превращений
материала при измерение 
.
Величина
характеризует
мощность внутренних источников теплоты
или стоков. Изменение количество тепловой
энергии в единицу объема dQ
пропорционально измерение 
dT.
,
(4.14)
с- удельная теплоемкость материала;
-
плотность теплового потока q
в соответствующем законом Фурье
пропорционально градиенту 
.
(4.15)
-
коэффициент теплопроводности материала
;
С учетом (4.14) и (4.15) приводится к виду:
(4.16)
Для однородного
и изотропного тела 
,
тогда
(4.17)
а- коэффициент температуро - проводности
Выражение дивергенции градиента температуры div grad T можно записать через оператор Лапласа:
(4.18)
Для одномерного случая (4.18), когда теплопередача осуществляет только вдоль оси x, получаем
(4.19)
Для одномерного
случая (4.16), (4.17), (4.18) должна быть заданна
функция 
и краевые условия, кроме того, необходимо
описание геометрии объекта (его форма
и размера) а также физических свойств
объекта и среднее (значение параметров
).
Для многих теплотехнических объектов
можно принимать =0. к ним в частности
относятся объекты представляющие собой
твердые тела: стенки теплообменников,
корпус детали, диски барабанных
фрикционных муфт, тормозов и т.д. В этом
случае уравнение теплопередачи имеет
вид:
4.3 Модели гидравлических систем
В технических системах широкое применение находят гидравлические и пневматические приводы. При большой длине магистралей в них возникают волновые процессы, исследования которых осуществляют с исполнением ДУЧП.
Основные физические свойства жидкости и газа: текучесть, сжимаемость и непрерывность потоков. Текучесть оценивается вязкостью, сжимаемость – модулем объема упругости. Жидкости обычно имеют сравнительно большую вязкость и слабую сжимаемость, а газа наоборот. Тем не менее, математическое описание физических свойств жидкости и газа на микроуровне выполняется на основе одних и тех законов. Движение жидкости в трубопроводе обычно рассматривают, как одномерный сплошной поток. Для описания его движения вдоль координаты x используют закон сохранения массы которой выражает свойства непрерывного потока жидкости трубопроводе и записывается в виде:
(4.35)
Уравнение Навье – Стокса в одномерном случае выражающее закон сохранения количество движения элементарной массы имеет вид:
(4.36)
При анализе движения жидкости в трубопроводе обычно массовыми силами пренебрегают.
(4.37)
Находит также применение приближенная форма уравнения Навье – Стокса.
,
(4.38)
-
коэффициент линеаризованного вязкого
трения в трубопроводе.
Иногда по исследовании
пренебрегают вязкостью жидкости.
Принимая 
=0,
выражение получаем уравнение Эйлера
для одномерного потока в трубопроводе
постоянного сечения.
(4.39)
Уравнение Эйлера учитывает лишь инерционное свойство потока, а уравнение Навье – Стокса – инерционное и диссипативные свойства (рассеивание энергии).
Сведем единую систему уравнения (4.35) и (4.37):
(4.40)
Уравнение (4.40)
представляет системы нелинейных ДУЧП
с тремя неизвестными функциями: скорость
v,
давление p,
плотность 
.
Чтобы сделать
систему определенной, необходимо в нее
добавить уравнения связи между 
и
p.
Будем полагать, что поток жидкости
изолирован от притока тепла извне
(адиабатический процесс). Для газа в
рассматриваемом случае плотность можно
выразить через давления на основании
уравнения состояния:
(4.41)
R – Газовая температура;
Т – температура;
k – Показатель ариобата
;
-
уравнение теплоемкости газа при
постоянном давлении и постоянном объеме
(Дж/к2*к).
-
энтальпия
Следует также учитывать зависимость динамической вязкости от температуры, обычно исследуют степенную зависимость вида:
(4.42)
При проектировании гидропривода часто принимают линейную аппроксимацию зависимости изменения давления от относительного изменения объема жидкости при ее стадии. Эта зависимость устанавливается законом Гука и в одномерном случае имеет вид:
(4.43)
E – Модуль объемной упругости жидкости.
Учитывая слабую
сжимаемость рабочей жидкости, полагают
и
для анализа полей скоростей используют
следующую систему ДУ:
(4.44)
Для решения систем уравнений (4.40), (4.44), необходимо задать краевые условия. Обычно принимают граничные условия первого рода и задают функции давления и скоростей на левую и правую границах участках трубопровода:
(4.45)
НУ является значения этих же функций в начальный момент времени t=0 во всех контролируемых точках трубопроводах.