3.4 Качественный анализ и проверка корректности модели.

Для контроля правильности полученной системы математических соотношений требуется проведение ряда обязательных проверок:

1. Контроль размерности, включающий правила, согласно которому приравниваться и складываться могут только величины финансовой размерности;

2. Контроль порядков, состоящей из грубой оценки сравнительных порядков складываемых величин и исключением малозначимых порядков;

3. Контроль граничных условий, включающий проверку того, что они наложены и на самом деле удовлетворяют данным условием;

4. Контроль физического смысла;

5. Контроль математической замкнутости, состоящей в проверке того, что выписанная система математических соотношений дает возможность, при том. Однозначно решить поставленную задачу.

Если задача свелась к отысканию n-неизвестной из некоторой системы уравнений, то контроль замкнутости состоит в том, чтобы число уравнений было n.

Если их меньше, то надо установить недостающие уравнения.

А если их больше, то либо уравнение зависимо, либо уравнение составлено ошибочно.

Математическая постановка задачи о баскетболисте

Математическую постановку в данном случае может представить как в векторной, так и координатной сумме:

• Векторная форма – найти зависимость векторных параметров от времени r(t), v(t) изменения системы обыкновенный ДУ: , , Н.У.:

Вычислим параметр по формуле:

, где определяется из следующих условий:

• Координатная форма – найти зависимость x(t), и v_x(t), v_y(t) из решения системы ДУ:

Н.У:

Вычислить параметры по формуле:

где определить из условия:

С математической точкой зрения задача свелась к задачи Коми для системы о ДУ I-ого порядка с заданными начальными условиями. Полученная система является замкнутой, т.к. число независимых уравнений (4ДУ и 2алгебраических)= числу искомых параметров задачи (x, y, v_x, v_y, , t_k).

Выполним контроль размерности задач:

- уравнение динамики: ,

- уравнение связь – скорость и перемещение:

,

3.5 Выбор и обоснование выбора метода решения задач

Все методы можно разделить на аналитические и алгоритмические (численные). Алгоритмические, как правило, более трудоемкие в реализации, по большим успехом применяется к системам высоких порядков с использованием ЭВМ. Можно выделить следующие группы численных методов по объектам, к которым они применяются численное дифференцирование интегрирование, определение корней линейных и нелинейных уравнений.

Аналитическое решение задачи о баскетболисте.

Проинтегрируем ДУ задачи по времени:

Константы интегрирования найдем из НУ. Тогда решение задачи можно будет записать в следующем образом:

Примем для простоты, что в момент броска мяч находится в начале координат и на одном уровне с корзиной (т.е ). Пор дальностью броска будем понимать расстояние вдоль оси абсцисс, которое пролетит мяч от точки броска до пересечения с горизонтальной плоскостью, проходящей через корзины. Из последнего соотношения дальность броска выразится в следующем образом:

, тогда точность броска

Алгоритмическое решение задачи о баскетболисте.

Алгоритм решения задачи с использованием метода Эйлера.

Program задача о баскетболисте

Данные: m, R- масса и радиус мяча; - начальные координаты мяча; - начальная скорость и угол броска мяча; - координаты центра корзины; t- текущее время; dt- шаг по времени; - силы действующие на мяч; - текущие координаты и проекции скорости мяча.

Результаты: - дальность, точность броска.

Start g:=9.81,

m:=0.6,

R:=0.12,

:=6.44,

:=45,

:=0,

:=0,

:=4.225,

:=0,

:=,

:=,

t=0,

dt=0.1,

,

.

White

сила, действующая на мяч

компоненты

координаты мяча

And White

Stop