3. Этапы построения математической модели

3.1. Содержательная постановка задачи

На данном этапе формируется пе5речень основных вопросов в совестной форме об объекте моделирования. Этап может включать следующие виды работ:

• Аналитический обзор литературных источников, анализ и сравнение между собой построенных ранее моделей.

• Обследование объекта моделирования с целью выявленная основных факторов, механизмов, влияющих на его поведение.

• Сбор и проверка имеющихся экспериментальных данных об объектах – аналогах.

Результат – разработка общего плана создание математической модели (техническое задание).

Пример. Задача о баскетболисте. Разработать математическую модель, позволяющую описать полет баскетбольного мяча, брошенного игроком в корзину. Модель должна позволять:

• Вычислять положение мяча в любой момент времени;

• Определять точность попадания мяча в корзину после броска при различных начальных параметрах.

Исходные данные: масса и радиус мяча, начальные координаты, скорость и угол броска мяча, координаты центра корзины и ее радиус.

3.2. Концептуальная постановка задачи моделирования

На данном этапе формируется перечень основных вопросов в терминах конкретных дисциплин (физики, химии и т.д.), а также совокупность гипотез относительно свойств и поведения объекта. Также формируются все принимаемые допущения.

Движение баскетбольного мяча может быть описана в соответствии с законами классической механике Ньютона. Применим следующие гипотезы:

• Объектом моделирования является баскетбольный мяч радиусом ;

• Математическую модель будем считать материальной точкой массой ;

• Движение происходит в поле силы тяжести с постоянным ускорением свободного падения ;

• Движение мяча происходит в одной плоскости, перпендикулярной поверхности земли и проходящей через точку броска и центр корзины;

• Пренебрегаем сопротивлением воздуха и возмущениями, вызванными собственным вращением мяча вокруг центра масс.

На основании гипотез имеем следующие выводы:

1. в качестве параметров движение мяча можно использовать координаты и ее скорость (ее проекции ) центра масс мяча.

2. для определение положения мяча в любой момент времени достаточно найти зависимость координат и проекции вектора скорости центра мяча от времени .

3. в качестве оценки точности броска можно рассматривать величину расстояния по горизонтали вдоль оси от центра корзины до центра мяча в момент времени, когда мяч пересекает горизонтальную плоскость. Проходящую через плоскость кольца корзины.

Сокращенная формулировка концептуальной постановки задачи о баскетболисте

Определить закон движения материальной точки массой под действием силы тяжести, если известны начальные координаты точки , начальная скорость и угол бросания . Центр корзины имеет координаты . Вычислить точность броска по формуле:

, где .

3.3. Математическая постановка задачи

На данном этапе отделяют совокупность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования. Среди математических соотношений выделяют два класса:

1. Уравнения, подтвержденные огромным количеством экспериментов, хорошо изученные и потому справедливы при определенных условиях для любых материальных тел, независимо от их конкретного строения, структуры, состояния, химического состава. Например, уравнения баланса массы, количество движения энергии.

2. Определяющие или физические уравнения (уравнения состояния). Они устанавливают особенности поведения материальных объектов или их совокупности при воздействии различных внешних факторов. Например, закон Гука, теория упругости или уравнение Клапейрона для идеальных газов. Здесь определяющие соотношения должны отражать реальное атомно – молекулярное строение исследуемых материальных объектов.

Совокупность математических соотношений указанных двух классов определяет оператор моделей. В большинстве случаев оператор модели включает в себя систему ОДУ ДУЧП и/или интегрально – дифференциальных уравнений (ИДУ). Для обеспечения корректности постановки задачи к системе ОДУ или ДУЧП добавляют начальное и/или граничное условие, которое в свою очередь, может быть алгебраическим или дифференциальными соотношениями различного порядка. Рассмотрим наиболее распространенные типы задач для систем ОДУ или ДУЧП:

1. Задача Коми (задача с начальными условиями), в которой по заданный в начальный момент времени переменным (начальным условиям) определяют значения этих переменных в любой момент времени.

2. Краевая задача (начально - граничная). Когда условие на исходную функцию выходного параметра задаются в начальный момент времени для всей пространственной области и на границе последней в каждый момент времени.

3. Задача на собственное значение. В формулировку входят неопределенные параметры, которые определяются из условия качественного изменения поведения системы (например, потеря устойчивости, состояния равновесия, появление резонанса и т.д.).