4.2 Основы построения мм на микроуровне

Для построения ММ фундаментальные физические законы. К ним относятся прежде всего законы сохранения (массы, энергии, количества, движения) общая формулировка закона сохранения: изменение во времени некоторой субстанций в элементарном объеме равна сумме притона – стока этой субстанций через его поверхность с учетом скорости генерации или уничтожения субстанций в этом объеме.

Уравнение соответствующее данной формулировке имеет вид:

(4.3)

- фазовая переменная (координата) выражающая субстанцию;

G – вектор плоскости потока фазовой переменной;

div I дивергенция вектора J;

G – скорость генерации или уничтожения субстанций.

J трехмерного ТО вектор J состоит из пяти составляющих параллельным осям декартовой системе координат:

5=(I_x,I_y,I_z)

Дивергенция вектора I– скалярная величина определяемая выражением:

(4.4)

Дивергенция вектора плотности потока характеризует сумму притона – стока субстанции через поверхность элементарного объема в начальных субстанций. В различных физических законах выступают: масса, энергия, количество движения.

Уравнение закона сохранения массы:

(4.5)

- плотность массы;

- вектор плотности потока массы.

(4.6)

V- Вектор скорости переноса массы.

Уравнение (4.5) гидроаэродинами называют уравнением неразрывности.

В одномерном случае, когда скорость направлена лишь в вдоль оси x, уравнение (4.5) принимает вид:

(4.7)

Уравнение закона сохранения энергии:

(4.8)

- полная энергия единицы массы;

- Внутренняя энергия единицы массы;

- энергия единицы объема ();

- вектор плотности потока энергии

- скорость генерации или поглощения энергии в единице объема ().

В одномерном случае, когда поток энергии направлен вдоль оси x уравнение (4.8) примет вид:

(4.9)

Уравнение закона сохранения количества движения имеет при моделировании движения потока жидкости. Для потока идеальной жидкости (без учета сил трения обусловленных вязкостью) уравнение имеет вид:

(4.10)

- вектор количества движения единицы объема жидкости;

- давление жидкости;

- градиент давления.

Градиент – векторная функция скалярного аргумента. Компонентами вектора градиента является частные производные аргумента по пространственной координате.

Градиент давления состоит из:

для одномерного потока жидкости получают:

(4.11)

при учете массовых сил и сил трения уравнение закона сохранения количества движения имеет вид:

(4.12)

- напряженность поля массовых сил;

- динамическая вязкость;

- оператор Лапласа

Выражение (4.12) называется уравнение Навье - Стокса.

4.3 Модели тепловых систем на микроуровне

Процесс переноса тепловой энергии (теплоты) в пространстве с неоднородным поле температуры называется теплообмен. Теплообмен может осуществляться теплопроводностью, конвекцией и тепловым излучением, температурным полем называется совокупность температурных значений для всех точек пространства в данный момент времени. Температурное поле скалярное, т.к. температура – скалярная величина. Если температура Т является функцией только пространственных координат Т(x,y,z), то процесс теплообмена стационарный и температурное поле стационарное. Если измеряется во времени, соответственно, не стационарная, на микроуровне используют уравнение теплопроводности связывающее измерениемво времени и пространстве со свойствами среды.Уравнение теплопроводности может быть получено на основе закон сохранения энергии, которая применительно к тепловой системе можно сформулировать: изменение во времени количество тепловой энергии в элементарном объеме равно сумме притока-стока энергии через его поверхность с учетом выделения энергии в том же объеме, в единице времени внутренними источниками (или поглощение энергии стоками).

(4.13)

Q- количество тепловой энергии в единицу объема ;

g- вектор плотности теплового потока ;

- количество тепловой энергии, выделяемой в единицу времени, рассматривается в элементарном объеме .

Выделения или поглощение тепловой энергии внутри тела может, происходит из за объемных химических реакций, прохождение электрического тока, фазовых превращений материала при измерение .

Величина характеризует мощность внутренних источников теплоты или стоков. Изменение количество тепловой энергии в единицу объемаdQ пропорционально изменению dT.

, (4.14)

с- удельная теплоемкость материала;

- плотность.

Плотность теплового потока q в соответствии с законом Фурье пропорционально градиенту .

(4.15)

- коэффициент теплопроводности материала ;

С учетом (4.14) и (4.15) приводится к виду:

(4.16)

Для однородного и изотропного тела , тогда

(4.17)

а- коэффициент температуропроводности

Выражение дивергенции градиента температуры div grad T можно записать через оператор Лапласа:

(4.18)

Для одномерного случая (4.18), когда теплопередача осуществляет только вдоль оси x, получаем

(4.19)

Для одномерного случая (4.16), (4.17), (4.18) должна быть заданна функция и краевые условия, кроме того, необходимо описание геометрии объекта (его форма и размера) а также физических свойств объекта и среднее (значение параметров). Для многих теплотехнических объектовможно принимать =0. к ним в частности относятся объекты представляющие собой твердые тела: стенки теплообменников, корпус детали, диски барабанных фрикционных муфт, тормозов и т.д. В этом случае уравнение теплопередачи имеет вид: