3.3. Математическая постановка задачи

На данном этапе определяют совокупность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования. Среди математических соотношений выделяют два класса:

1. Уравнения, подтвержденные огромным количеством экспериментов, хорошо изученные и потому справедливы при определенных условиях для любых материальных тел, независимо от их конкретного строения, структуры, состояния, химического состава. Например, уравнения баланса массы, количество движения энергии.

2. Определяющие или физические уравнения (уравнения состояния). Они устанавливают особенности поведения материальных объектов или их совокупности при воздействии различных внешних факторов. Например, закон Гука, теория упругости или уравнение Клапейрона для идеальных газов. Здесь определяющие соотношения должны отражать реальное атомно – молекулярное строение исследуемых материальных объектов.

Совокупность математических соотношений указанных двух классов определяет оператор моделей. В большинстве случаев оператор модели включает в себя систему ОДУ ДУЧП и/или интегрально – дифференциальных уравнений (ИДУ). Для обеспечения корректности постановки задачи к системе ОДУ или ДУЧП добавляют начальное и/или граничное условие, которое в свою очередь, может быть алгебраическим или дифференциальными соотношениями различного порядка. Рассмотрим наиболее распространенные типы задач для систем ОДУ или ДУЧП:

1. Задача Коши (задача с начальными условиями), в которой по заданный в начальный момент времени переменным (начальным условиям) определяют значения этих переменных в любой момент времени.

2. Краевая задача (начально - граничная). Когда условие на исходную функцию выходного параметра задаются в начальный момент времени для всей пространственной области и на границе последней в каждый момент времени.

3. Задача на собственное значение. В формулировку входят неопределенные параметры, которые определяются из условия качественного изменения поведения системы (например, потеря устойчивости, состояния равновесия, появление резонанса и т.д.).

3.4 Качественный анализ и проверка корректности модели, требования, предъявляемые к модели.

Для контроля правильности полученной системы математических соотношений требуется проведение ряда обязательных проверок:

1. Контроль размерности, включающий правила, согласно которому приравниваться и складываться могут только величины финансовой размерности;

2. Контроль порядков, состоящей из грубой оценки сравнительных порядков складываемых величин и исключением малозначимых порядков;

3. Контроль граничных условий, включающий проверку того, что они наложены и на самом деле удовлетворяют данным условием;

4. Контроль физического смысла;

5. Контроль математической замкнутости, состоящей в проверке того, что выписанная система математических соотношений дает возможность, при том. однозначно решить поставленную задачу.

Если задача свелась к отысканию n-неизвестной из некоторой системы уравнений, то контроль замкнутости состоит в том, чтобы число уравнений было n.

Если их меньше, то надо установить недостающие уравнения.

А если их больше, то либо уравнение зависимо, либо уравнение составлено ошибочно.

Математическая постановка задачи о баскетболисте

Математическую постановку в данном случае может представить как в векторной, так и координатной сумме:

• Векторная форма – найти зависимость векторных параметров от времени r(t), v(t) изменения системы обыкновенный ДУ: ,, Н.У.:

Вычислим параметр по формуле:

, где определяется из следующих условий:

• Координатная форма – найти зависимость x(t), и v_x(t), v_y(t) из решения системы ДУ:

Н.У:

Вычислить параметры по формуле:

где определить из условия:

С математической точкой зрения задача свелась к задачи Коми для системы о ДУ I-ого порядка с заданными начальными условиями. Полученная система является замкнутой, т.к. число независимых уравнений (4ДУ и 2алгебраических)= числу искомых параметров задачи (x, y, v_x, v_y, ,t_k).

Выполним контроль размерности задач:

- уравнение динамики: ,

- уравнение связь – скорость и перемещение:

,