Тема 5. Теория систем с распределенными параметрами

Цель и задачи: освоить основные понятия теории систем с распределенными параметрами, основанные на элементах математической физики.

Учебные вопросы:

5.1. Базовые уравнения объектов с распределенными параметрами. Уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов.

5.2 Общая характеристика условий однозначности: начальные и граничные условия.

5.3 Основное соотношение вход – выход.

5.4 Функция Грина.

5.5 Стандартизирующая функция.

5.6 Типовые распределенные блоки.

5.7 Передаточные функции объектов СРП.

5.8 Соединение распределенных блоков.

Модели на микроуровне описываются дифференциальными уравнениями с частными производными, а объекты моделирования представляют собой систему с распределенными параметрами (СРП), состояние которых описывается функциями нескольких аргументов, зависящих как от времени, так и от пространственных координат.

5.1. Базовые уравнения объектов с распределенными параметрами

- функция состояния (выход объекта СРП) определенная по пространственной переменной , принадлежащей(- замкнутая область), удовлетворяет уравнению.

(5.1)

(область без учета границ).

где - открытая часть области, не содержащая границ;

- некоторый заданный оператор (линейная функция , частные производные отпоиразличных порядков, интегральный операторпоит.д. Конкретный вид определяется содержанием описываемого процесса).

- известная функция, характеризующая внешнее воздействие на процесс (вход объекта СРП).

Если , то уравнение (5.1) – однородное. Если, то уравнение неоднородное.

Для получения единственного решения уравнение (5.1) надо дополнить начальными условиями, которые описываются некоторым линейным оператором следующего вида.

(5.2)

где - начальная функция, описывающая искомую функциюв замкнутой областив начальный момент времени.

Если , то начальные условия (5.2) называются нулевыми, иначе – ненулевыми. Условие (5.2) необходимо, но недостаточно для выделения единственного решения (5.1), что является принципиальной особенностью СРП по сравнению с системой сосредоточенными параметрами (ССП). Полная система соотношений должна содержать граничные условия для, которые характеризуютс внешней средой длядля границ области, которые описываются зависимостью вида.

(5.3)

- граница области;

- линейный оператор

можно рассматривать как второй вход объекта наряду с .

Уравнения (5.1) - (5.3) с заданными линейными операторами составляющие краевую задачу, -базовая модель для математического описания объекта СРП. Для простейшего случая пространственной распределенности по одной координате, изменяющейся отдо(однородная задача) уравнение (5.1)запишется в виде:

(5.4)

здесь - заданные функции. Как правило, константы.

В зависимости от дискриминанта различают следующие классы уравнений:

- уравнения гиперболического типа;

- уравнения параболического типа;

- уравнение эллиптического типа смешанная задача, когда меняет знак в области допустимых измененийи.

Уравнения гиперболического типа

Содержат вторые производные, как по времени , так и по координате. Описывают колебательные процессы различной природы (механические, электромагнитные звуковые и т.д.) связанные с конечной скоростьюраспределения волновых явлений.

Например, для (5.4)

(5.5)

Уравнение (5.5) – волновое уравнение, моделирует процессы распространения свободных колебаний.

При уравнение (5.5) описывает вынужденные колебания под влиянием внешнего воздействия

Рассмотрим другой тип гиперболических уравнений называемый телеграфным.

(5.6)

(5.6) описывает распределение напряжения и тока вдоль длинной электрической линии.

- скорость распространения электромагнитной волны вдоль линии.

При (5.6) сводится к волновому уравнению. Примоделирует процессы механических колебаний в сопротивляющейся среде.

Уравнение параболического типа

Содержат первую производную по времениt и вторую производную по . Описывают задачи, связанные с процессами теплопроводности, диффузии, движения вязкой жидкости и т.д.

(5.7)

(5.7)- уравнение теплопроводности (уравнение Фурье)

Описывает температурные поля процессов теплопроводности, тепломассопереноса, электромагнитного поля и т.д. также это уравнение может быть неоднородным учитывающее внешнее воздействие от внутренних источников вещества и энергии.

.

Уравнение эллиптического типа

Отсутствует производная по времени . Описывают статическое состояние объекта СРП.

(5.8)

(5.9)

(5.10)

(5.8) – уравнение Гельмгольца, описывает многие физические процессы теплопроводности, диффузии в движущихся средах, напряженности магнитное поле установившиеся колебания различной природы.

(5.9) – уравнение Пуассона

(5.10) – уравнение Лапласа

Моделирует распределение температурного потенциала скоростей, при стационарном течении несжимаемой жидкости, потенциала электрического поля в задачах электростатики и т.д. при отсутствии или наличии внешних воздействий.