4.5 Модели механических систем на микроуровне

Модели механических систем на микроуровне решают задачи анализа в напряженно-деформированном состоянии отдельных элементов. Значение напряжений и деформации позволяют оценить прочность, долговечность, виброустойчивость конструктивных элементов и осуществит поиск их оптимальных размеров и конфигурации. Современные методы анализа напряженно – деформированного состояния базируются на исполнении модели с распределенными параметрами, в основе которых лежит теория упругости. Динамические модели различных элементов сводятся к стержневым, пластинчатым, оболочечным или объемным системам, находящимся под действием производных механических нагрузок (сосредоточенных, распределенных, детерминированных, случайных и т.д.). математической моделью анализа напряженно – деформированного состояния элемента механической системы является основное уравнение теории упругости уравнение Ламе. Это уравнение выводится из условия динамического равновесия твердого тела под действием приложенных к нему сил, включая силы инерции.

Выделим в твердом теле элементарный параллепипед и сформулируем условие его равновесия: « геометрическая сумма сил приложена к выделенному элементарному параллепипеду, включая его силе инерции = 0, при этом учитываются распределенные нагрузки на грани параллепипеда и массовые силы. Распределенные нагрузки представляются нормальными напряжениями и касательными. Учитывая закономерности касательных напряжений, согласно которому, получаем уравнение равновесия проекций на осиx₁, x₂, x₃:

(4.46)

где i=1, 2, 3; - плотность материала твердого тела;- перемещение элементов вдоль осиx_i; - напряжения, действующее в направлении осиx_i в гране элемента перпендикулярной оси x_i; - проекция вектора массовых сил по осьx_i; g- вектор ускорения свободного падения.

Напряжение связана с деформациями, а последние – с перемещениями.

В случае линейной зависимости между ними в устанавливаемой законом Гука, имеем

(4.47)

(4.48)

где -деформация, вычисляемая по формуле:

(4.49)

где и- постоянные Ламе, характеризующие упругие свойства среды.

(4.50)

(4.51)

E- модуль упругости; - коэффициент Пуассона.

Заменяя напряжение на деформацию в уравнениях равновесия (4.46) получаем основное уравнение теории упругости, называемое уравнением Ламе:

(4.52)

где - вектор перемещений.

Вопросы для самопроверки

1) Какие объекты понимаются под сплошными средами?

2) Какими уравнениями описываются системы на микроуровне?

3) Что называется фазовыми координатами?

4) Как звучит общая формулировка закона сохранения?

5) Каким выражением определяется дивергенция вектора I?

6) Какими уравнениями описываются закон сохранения массы, энергии и количества движения?

7) Какое уравнение называют уравнением неразрывности?

8) Какими способами может осуществляться теплообмен?

9) Как записывается уравнение теплопроводности?

10) Как рассчитывается коэффициент температуропроводности?

11) Как выглядит приближенная форма уравнения Навье – Стокса?

12) Как выглядит уравнение Ламе?

Список литературы:

1. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: Учебник для вузов / В.П.Тарасик. – Мн.: ДизайнПРО, 2004.