Тема 1. Классификация моделей и виды моделирования

Цель и задачи: Введение в понятийные основы моделирования систем, включая основные определения, понятия процессов моделирования и моделей.

Учебные вопросы:

1. Понятие моделирования и модели.

2. Свойства моделей.

3. Назначение моделей (цели и задачи исследования):

4. Виды моделирования.

5. Математическое моделирование.

6. Классификация математических моделей

При проведении экспериментальных и теоретических исследований широко используется моделирование как средство познания материального мира.

Моделирование – процесс замещения объектной сферы некоторой моделью и приведения исследований на модели с целью получения информации об объекте. Т.е. под моделированием понимается процесс построения и использования модели.

Модель (от лат. modulus- мера, образец, норма) – физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно изображать физические свойства и характеристики объекта. Другим словами, объект (материально или мысленно представляемый), который замещает в процессе изучения объект-оригинал, сохраняя его физические свойства и характеристики.

Модель обладает следующими свойствами:

1. Полнота модели. Чем больше факторов учитывается при построении модели, тем, вероятно более полной она является.

2. Адекватность модели. Если результаты моделирования подтверждаются и могут служить основой для прогнозирования процессов, протекающих в исследуемом объекте, то модель адекватна объекту. Адекватность от лат. adaequatus – приравненный. Необходимо учитывать, что адекватность зависит от цели моделирования и принятых критериев.

3. Простота (или сложность) модели. Если две модели позволяют достичь желаемой цели и при этом позволяют получить результаты с заданной точностью, то предпочтение должно быть отдано более простой.

4. Потенциальность модели. Потенциально от лат. potentia – мощь, сила. Модель потенциальна (предсказательна), если она позволяет получить новые знания об исследуемом объекте.

Хорошо построенная модель доступнее, информативнее и удобнее для исследователя, чем реальный объект.

Назначение моделей (цели и задачи исследования):

1. Модель нужна для понимания структуры внутренних связей объекта, основных свойств, законов развития, саморазвития и взаимодействия с окружающей средой.

2. Модель позволяет определять наилучшие способы управления объектом, системой или процессом при заданных целях и критериях.

3. Модель необходима для прогнозирования прямых и косвенных последствий реализации заданных способов и форм воздействия на объект.

Различают моделирование материальное и идеальное.

Материальное моделирование – моделирование с использованием материального аналога, воспроизводящего физические, геометрические, динамические и функциональные характеристики объекта.

Основными разновидностями являются:

1. Натурное (физическое) моделирование – моделирование, при котором реальному объекту ставиться в соответствие его увеличенный (уменьшенный) аналог, допускающий исследование (обычно в лабораторных условиях) с последующим перенесением свойств изучаемых процессов с модели на объект на основе теории подобия.

Примеры: макеты в архитектуре, модели судов, модели самолетов, испытываемые в аэродинамических трубах.

Часто физические (натурные) модели сочетают с компьютерным моделирование, например, при киносъемках.

2. Аналоговое моделирование – это моделирование, использующее аналогии процессов и явлений, имеющих различную физическую природу, но формально одинаково описываемых (одними и теми же материальными соотношениями, логическими и структурными схемами)

Примеры: Электрические схемы, с помощью которых можно изучать механические колебания, и наоборот. Это обусловлено тем, что механические и электрические колебания с точки зрения математики описываются одинаковыми соотношениями.

Электрическая схема	Механический маятник
L, R, C – индуктивность, сопротивление и емкость; I(s), V(s) – ток и напряжение в преобразованиях Лапласа	J, B, K – момент инерции, коэффициент трения, коэффициент упругости; Θ(s), T(s) – угол поворота и приложенный вращающий момент в преобразованиях Лапласа

Модели физического и аналогового типа являются материальным отражением реального объекта, с которым они тесно связаны своими геометрическими и физическими характеристиками.

Фактически процесс исследования этих моделей сводится к проведению ряда натурных экспериментов, в которых вместо реального объекта используется его физическая или аналоговая модель.

Идеальное моделирование – это моделирование, носящее теоретический характер и основанное на аналогии идеальной (не материальной), мысленной.

Идеальное моделирование разделяют на два основных типа: интуитивное и научное.

1. Интуитивное моделирование – это моделирование, основанное на интуитивном представлении об объекте исследования. Интуитивным следует считать эмпирические (полученные на основе эксперимента или в процессе наблюдения) знания без объяснения причин и механизмов наблюдаемого явления.

2. Научное моделирование – это моделирование, использующее минимальное число предположений, принятых в качестве гипотез.

Деление моделирования на интуитивное и научное следует признать относительным. Для передачи как научного, так и интуитивного знания используется знаковая форма.

Знаковым моделированием – называется моделирование, использующее в качестве моделей различные знаковые изображения:

- схемы;

- графики;

- язык устного и письменного общения;

- математические символы;

- химические формулы;

- музыкальные ноты и т.д.

Одним из видов знакового моделирования является математическое моделирование.

Математическое моделирование – это научное знаковое моделирование, при котором описание объекта осуществляется на языке математики, а исследование модели проводится с использованием различных математических методов.

Так как в сознании человека вначале формируется идеальная модель, а затем на ее основе строится материальная, то идеальное моделирование можно считать первичным по отношению к материальному. А рассматриваемые виды моделирования можно представить согласно рисунку 1.

Рисунок 1 – Виды моделирования

Рассмотрим классификацию математических моделей.

При проектировании технических объектов используют различные виды математических моделей, в зависимости от уровня иерархии степени декомпозиции системы, стадии и этапа проектирования. На любом уровне иерархии объект представляют в виде совокупности отдельных элементов. В связи с этим различают математические модели элементов и систем . при переходе к более высокому иерархическому уровню системы низшего уровня становятся элементом нового уровня и наоборот. Обычно чем ниже уровень иерархии, тем более детальнее описание физических свойств объекта и следовательно более сложные математические модели.

Различают три иерархических уровня:

1) Верхний (метауровень) соответствует начальным стадиям проектирования. Для построения математической модели метауровня используют методы математической логики, теорию графов, теория автоматического управления.

2) Средний (макроуровень). Объект рассматривают как динамическую систему с сосредоточенными параметрами. Математические модели макроуровня представляют собой системы обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ).

3) Нижний (микроуровень). Объект представляется как сплошная среда с распределенными параметрами. Для описания процесса функционирования таких объектов используют дифференциальное уравнение в частных производных (ДУЧП). На микроуровне исследуют неделимые по функциональному признаку элементы технической системы, называемыми базовыми элементами (Например, вал, мембрана, стержни и т.д.).

На всех видах иерархических уровнях используют следующие виды математической модели:

1. Динамические и статические математические модели. Если при моделировании учитываются инерционные свойства объекта и/или изменение во времени параметров объекта или внешней среды, то модель динамическая. Иначе модель – статическая. Статическая модель может быть выражена системой алгебраических уравнений. Динамическая модель может быть выражена системой дифференциальных, интегральных уравнений, передаточными функциями.

2. Линейная или нелинейная математическая модель. Линейные модели содержат только линейные функции фазовых переменных и их производных. Фазовая переменная (фазовая координата) – величина, характеризующая состояние объекта в процессе его функционирования (скорости и сила. Расхода и давления и т.д.). Нелинейная математическая модель включает нелинейные функции.

3. Функциональная и структурная математическая модель. Структурные модели отображают только структуру объекта и имеют форму таблиц, матриц и графов. Функциональные модели учитывают и структурные, и функциональные свойства объекта. Имеют форму систем уравнений.

4. Теоретические и экспериментальные математические модели. Теоретические модели получают по основе описания физических процессов функционирования объекта, а экспериментальные модели – на основе изучения поведения объекта во внешней среде, рассматривая его как «черный ящик». При построении теоретических моделей используют физический подход, который сводиться к непосредственному применению физических законов, и формальный подход, который используют общие математические принципы.

5. Вероятностные и детерминированные математические модели (стохастические). Вероятностные математические модели учитывают случайный характер воздействия внешней среды, случайный разброс параметров элементов объекта, обусловленный технологическими процессом изготовления. Детерминированные математические модели характеризуются взаимнооднозначным соответствием между внешним воздействием на динамическую систему и ее реакцией на это воздействие.

Существует и иное деление классификация видов моделирования и математических моделей.

Вопросы для самопроверки

1. Дать краткие определения понятиям модель и моделирование.

2. Какие свойства имеет модель? Какая по Вашему наиболее важная и почему?

3. В чем особенность материального моделирования? Какие разновидности вы знаете?

4. Придумайте собственный пример аналоговых моделей.

5. На какие типы разделяется идеальное моделирование?

6. Что может быть использовано в качестве моделей знакового моделирования?

7. Дайте определение математического моделирования.

8. Приведите примеры моделей математического моделирования.

Список литературы:

1. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: Учебник для вузов / В.П.Тарасик. – Мн.: ДизайнПРО, 2004.

2. Самарский А.А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / А.А. Самарский, А.П. Михайлов. - М.: Физматлит, 2005. - 320с.

3. Советов Б.Я. Моделирование систем. Учебник для ВУЗов / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. - М.: Высшая школа, 2001 г. – 343с.

4. Введение в математическое моделирование: Учеб. пособие / под ред. П.В.Трусова. – М.: Логос, 2005. – 440с.