Краевые условия.

Уравнения (1.2), (1.4), (1.6), (1.7) имеют множество решений. Для получения единственного решения необходимо задавать краевые условия (сведения об искомых непрерывных функциях на границах рассматриваемых областей - граничные условия, а в случае нестационарных задач - значения этих же функций в начальный момент времени - начальные условия). Исходное дифференциальное уравнение в частных производных вместе с краевыми условиями носит название дифференциальной краевой задачи и представляет собой ММ исследуемого объекта.

Граничные условия в краевых задачах могут задаваться различными способами. На границе рассматриваемой области можно задать:

1. значение искомой функции;

2. значения производных по пространственным координатам от искомой функции;

3. уравнение баланса потоков.

В случаях а-в говорят о граничных условиях первого, второго и третьего рода соответственно.

Для уравнений теплопроводности (1.6) и (1.7) чаще задают граничные условия первого и третьего рода. Другими словами, на границе с рассматриваемой областью задаются либо температура Т(х)=Т(с), либо условия теплообмена с внешней средой. При этом если на границе области имеет место конвективный теплообмен, то граничное условие третьего рода записывается в виде

(1.8)

где - коэффициент теплообмена, в общем случае являющийся функцией температуры;— температура окружающей, среды.

Если на границе задан поток теплоты, то граничное условие

(1.9)

где поток считается положительным, если теплота отводится от рассматриваемого объекта.

Поток теплоты и конвективный теплообмен не могут задаваться одновременно на одном и том же участке границы. В частном случае, когда граница теплоизолирована, т. е. конвективный теплообмен отсутствует и поток теплоты равен нулю, имеет место граничное условие второго рода:

и

Граничные условия для уравнений Навье-Стокса также могут быть весьма разнообразными. Например, в задаче об обтекании вязкой жидкостью или газом поверхности произвольной формы обычно задаются граничные условия первого рода, причем на границе необходимо задавать значения компонент вектора скорости, плотность и давление.

Приближенные модели объектов на микроуровне.

Точное решение краевых задач удается получить лишь для немногих частных случаев. Поэтому общий способ их решения, в том числе и в САПР, заключается в использовании различных приближенных моделей. В настоящее время наиболее широкое распространение получили модели на основе интегральных уравнений и модели на основе метода сеток.

Основная идея построений модели на основе интегральных уравнений заключается в переходе от исходного дифференциального уравнения в частных производных к эквивалентному интегральному уравнению, подлежащему дальнейшим преобразованиям.

Сущность метода сеток состоит в аппроксимации искомой непрерывной функции совокупностью приближенных значений, рассчитанных в некоторых точках области - узлах. Совокупность узлов, соединенных определенным образом, образует сетку. Сетка, в свою очередь, является дискретной моделью области определения искомой функции.

Применение метода сеток позволяет свести дифференциальную краевую задачу к системе нелинейных в общем случае алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых значений функций.

В общем случае алгоритм метода сеток состоит из трех этапов.

Этап 1. Построение сетки в заданной области (дискретизация задачи).

Этап 2. Получение системы алгебраических уравнений относительно узловых значений (алгебраизация задачи).

Этап 3. Решение полученной системы алгебраических уравнений.

Наиболее часто в составе САПР используются два метода сеток:

1) метод конечных элементов (МКЭ);

2) метод конечных разностей (МКР).

Эти методы отличаются друг от друга на этапах 1 и 2 алгоритма. На этапе 3 методы практически идентичны.