Методика получения математических моделей элементов.

В общем случае процедура получения математических моделей элементов включает в себя следующие операции:

1. Выбор свойств объекта, которые подлежат отражению в модели. Этот выбор основан на анализе возможных применений модели и определяет степень универсальности ММ.

2. Сбор исходной информации о выбранных свойствах объекта. Источниками сведений могут быть опыт и знания инженера, разрабатывающего модель, научно-техническая литература, прежде всего справочная, описания прототипов - имеющихся ММ для элементов, близких по своим свойствам к исследуемому, результаты экспериментального измерения параметров и т. п.

3. Синтез структуры ММ. Структура ММ - общий вид математических соотношений модели без конкретизации числовых значений фигурирующих в них параметров. Структура модели может быть представлена также в графической форме, например в виде эквивалентной схемы или графа. Синтез структуры - наиболее ответственная и с наибольшим трудом поддающаяся формализации операция.

4. Расчет числовых значений параметров ММ. Эта задача ставится как задача минимизации погрешности модели заданной структуры, т. е.

(4)

где X - вектор параметров модели; ХД - область варьирования параметров; определяется в соответствии с (1) и (2), где - функция от X, a определяются по результатам экспериментов либо физических, либо численных с использованием более точных ММ, если таковые имеются в иерархическом ряду ММ.

5. Оценка точности и адекватности ММ. Для оценки точности должны использоваться значения , которые не фигурировали при решении задачи (4).

Большую ценность для пользователя представляют не оценки погрешности , выполненные в одной-двух случайных точках пространства внешних переменных, а сведения об области адекватности (ОА). Однако определение ОА требует больших затрат машинного времени. Поэтому расчет ОА выполняется только при тщательной отработке ММ унифицированных элементов, предназначенных для многократного применения.

Преобразования математических моделей в процессе получения рабочих программ анализа.

Реализация функциональных ММ на ЭВМ подразумевает выбор численного метода решения уравнений и преобразование уравнений в соответствии с особенностями выбранного метода. Конечная цель преобразований - получение рабочей программы анализа в виде последовательности элементарных действий (арифметических и логических операций), реализуемых командами ЭВМ. Все указанные преобразования исходной ММ в последовательность элементарных действий ЭВМ выполняет автоматически по специальным программам, создаваемым инженером-разработчиком САПР. Инженер-пользователь САПР должен лишь указать, какие программы из имеющихся он хочет использовать. Процесс преобразований ММ, относящихся к различным иерархическим уровням, иллюстрирует рисунок 1.

Рис. 1.

Инженер-пользователь задает исходную информацию об анализируемом объекте и о проектных процедурах, подлежащих выполнению, на удобном для него проблемно-ориентированном входном языке программного комплекса. Ветви 1 на рис. 2 соответствует постановка задачи, относящейся к микроуровню, как краевой, чаще всего в виде ДУЧП. Численные методы решения ДУЧП основаны на дискретизации переменных и алгебраизации задачи. Дискретизация заключается в замене непрерывных переменных конечным множеством их значений в заданных для исследования пространственном и временном интервалах; алгебраизация - в замене производных алгебраическими соотношениями.

Применяют различные способы дискретизации и алгебраизации переменных при решении ДУЧП. Эти способы составляют сущность методов числового решения; большинство используемых методов относится либо к методам конечных разностей, либо к методам конечных элементов. Если ДУЧП стационарное (т. е. описывает статические состояния), то дискретизация и алгебраизация преобразует ДУЧП в систему алгебраических уравнений, в общем случае нелинейных (ветвь 2 на рис. 1). Если ДУЧП нестационарное (т. е. описывает изменяющиеся во времени и пространстве поля переменных), то дискретизацию и алгебраизацию можно представить состоящей из двух этапов:

1. устранение производных по пространственным координатам (ветвь 3), результат - система ОДУ;

2. устранение производных по времени (ветвь 4).

Для числового решения ОДУ при заданных начальных условиях (задача Коши) разработано большое количество численных методов, причем многие из эффективных методов получили развитие под влиянием потребностей автоматизированного проектирования. Специфика алгебраизации производных по времени и обусловливает целесообразность выделения для ветви 4 специальных средств математического и программного обеспечения, отличных от таких же средств для ветвей 2 и 3.

Сведение задачи решения алгебраических уравнений к последовательности элементарных операций может быть либо непосредственным (ветвь 5), например, на основе методов простых итераций или релаксации, либо через посредство предварительной линеаризации уравнений (ветвь 6), Что составляет сущность метода Ньютона. Решение, системы линейных алгебраических уравнений в этом случае (ветвь 7) выполняется с помощью прямых методов, например метода Гаусса.

Ветви 8 на рис. 1 соответствует преобразование исходного описания задачи, относящегося к макроуровню, в систему ОДУ с известными начальными условиями. Если это система нелинейных ОДУ, то дальнейшие преобразования происходят по охарактеризованным выше ветвям 4, 6, 7 или 4, 5; если же система линейных ОДУ, то целесообразен непосредственный переход к системе линейных алгебраических уравнений (ветвь 9).

Для анализа объектов на метауровне применяют либо переход к системе ОДУ (ветвь 10), либо переход к системам логических уравнений, моделям массового обслуживания или аналитическим моделям, отображающим упрощенно технико-экономические показатели объекта (ветвь 11). Сведение этих форм моделей в последовательность элементарных вычислительных операций (ветвь 12) не вызывает затруднений.

Сказанное показывает важное значение, отводимое в математическом обеспечении САПР численным методам решения систем ОДУ, нелинейных и линейных алгебраических уравнений. Из рис. 1 также видно, что такие системы уравнений приходится решать при проектировании объектов на микро- и макроуровнях, а часто и на метауровне. От эффективности этих методов существенно зависит общая эффективность выполнения проектных процедур функционального проектирования.