Требования к математическим моделям и численным методам в сапр.

К математическим моделям предъявляются требования универсальности, адекватности, точности и экономичности.

Степень универсальности ММ характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта. Математическая модель отражает лишь некоторые свойства объекта. Так, большинство ММ, используемых при функциональном проектировании, предназначено для отображения протекающих в объекте физических или информационных процессов, при этом не требуется, чтобы ММ описывала такие свойства объекта, как геометрическая форма составляющих его элементов. Например, ММ резистора в виде уравнения закона Ома характеризует свойство резистора пропускать электрический ток, но не отражает габариты резистора, как детали, его цвет, механическую прочность, стоимость и т. п.

Точность ММ оценивается степенью совпадения значений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью оцениваемой ММ. Пусть отражаемые в ММ свойства оцениваются вектором выходных параметров . Тогда, обозначив истинное и рассчитанное с помощью ММ значенияj-го выходного параметра через и соответственно, определим относительную погрешность расчета параметра как

(2)

Получена векторная оценка . При необходимости сведения этой оценки к скалярной используют какую-либо норму вектора, например

(3)

Адекватность ММ - способность отображать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной. Поскольку выходные параметры являются функциями векторов параметров внешних Q и внутренних X, погрешность зависит от значений Q и X. Обычно значения внутренних параметров ММ определяют из условия минимизации погрешности в некоторой точке Q_ном пространства внешних переменных, а используют модель с рассчитанным вектором X при различных значениях Q. При этом, как правило, адекватность модели имеет место лишь в ограниченной области изменения внешних переменных - области адекватности (ОА) математической модели:

,

где - заданная константа, равная предельно допустимой погрешности модели.

Область адекватности - область в пространстве параметров, в пределах которой погрешности модели остаются в допустимых пределах. Например, область адекватности линеаризованной модели поверхности детали определяется системой неравенств

,

где и- допущенная и предельно допустимая относительные погрешности моделирования поверхности, максимум берется по всем координатам и контролируемым точкам; ,, i-я координата j-й точки поверхности в объекте и модели соответственно.

В большинстве случаев области адекватности строятся в пространстве внешних переменных. Так, область адекватности модели электронного радиоэлемента обычно выражает допустимые для применения модели диапазоны изменения моделируемых температур, внешних напряжений, частот.

Экономичность ММ характеризуется затратами вычислительных ресурсов (затратами машинных времени Т_М и памяти П_М) на ее реализацию. Чем меньше Т_М и П_М тем модель экономичнее. Вместо значений Т_М и П_М, зависящих не только от свойств модели, но и от особенностей применяемой ЭВМ, часто используют другие величины, например: среднее количество операций, выполняемых при одном обращении к модели, размерность системы уравнений, количество используемых в модели внутренних параметров и т. п.

Требования высоких точности, степени универсальности, широкой области адекватности, с одной стороны, и высокой экономичности, с другой стороны, противоречивы. Наилучшее компромиссное удовлетворение этих противоречивых требований зависит от особенностей решаемых задач, иерархического уровня и аспекта проектирования. Это обстоятельство обусловливает применение в САПР широкого спектра математических моделей.

Аналогичные требования по точности и экономичности фигурируют при выборе численных методов решения уравнений модели.