Метод переменных состояния

Базис метода переменных, характеризующих состояние системы, или более коротко - метода переменных состояния, составляют переменные типа потока через элементы типа , переменные типа разности потенциалов на элементах типаL(U_L) и производные переменных состояния. Из уравнений обобщенного метода формирования ММС уравнения метода переменных состояния могут быть получены путем предварительного исключения из вектора неизвестных всех переменных, кроме ,U_L и производных переменных состояния.

В этом методе предварительная алгебраизация компонентных уравнений не требуется, поэтому при программной реализаций метода библиотека ММ элементов не связана с библиотекой методов интегрирования.

Отличительная особенность метода - возможность получения системы дифференциальных уравнений, являющейся ММ технического объекта, в нормальной форме Коши, т. е. разрешённой относительно производных. Эта возможность появляется благодаря тому, что в базис метода входят переменные иU_L (формулы интегрирования пока не учитываем), которые определяются для соответствующих элементов согласно уравнениям ,.

Разрешив ММС относительно иU_L, а затем выполнив деление частей уравнений на С или L, получим систему уравнений в нормальной форме Коши.

В отличие от табличного метода, для которого фундаментальное дерево графа эквивалентной схемы выбиралось из условия минимальной насыщенности М-матрицы, в методе переменных состояния используется нормальное дерево графа (рис. 11) - фундаментальное дерево, в которое ветви включаются согласно следующему приоритету: типа Е, типа С, типа R, типа L и типа I.

Рис. 11. Граф механической системы с выделенным нормальным деревом.

Использование такого дерева позволяет упростить процедуру получения системы уравнений в нормальной форме Коши.

Математические модели технических объектов для получения частотных характеристик.

Для многих технических объектов, описываемых системой линейных дифференциальных уравнений, необходимо получение амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик (АЧФ и ФЧХ). Часто АЧХ и ФЧХ определяют для объектов, описываемых системами нелинейных дифференциальных уравнений в режиме мало­го воздействия, в котором возможна линеаризация нелинейностей.

Получение АЧХ и ФЧХ возможно на основе уравнений, сформированных для анализа объекта во временной области, т. е. ММС в виде системы дифференциальных уравнений, при подаче на вход объекта гармонического воздействия. Но такой подход связан с большими затратами машинного времени, поскольку необходимо решать ММС для ряда частот входного воздействия из заданного частотного диапазона. Поэтому для получения АЧХ и ФЧХ разрабатываются специальные модели и методы.

Численный метод анализа частотных характеристик.

Поскольку модель технического объекта предполагается линейной, целесообразно записать ее относительно приращений:

(1)

где V- вектор приращений переменных состояния относительно значений этих переменных без воздействия сигнала (в статическом состоянии);U- вектор переменных составляющих входных воздействий;ВиD- постоянные матрицы.

Учитываем, что , и применяем преобразование Лапласа к (1):

(2)

где V(p) и U(p) - преобразованные по Лапласу векторы V(t) и V(t).

Заменив р в (2) на , получим модель объекта в частотной области:

(3)

где I - единичная матрица того же порядка, что и матрица В.

Решение этой системы уравнений позволяет определить значение для избранного ряда частот. Построение АЧХ и ФЧХ сводится к нахождению модуля и аргумента комплексного значениянa заданных частотахпри единичной амплитуде воздействия.

Метод полиномиальных коэффициентов.

Так как математическая модель объекта линейна, то , где- вектор приращений тех фазовых переменных, которые считаются выходными для объекта.

Применяя преобразование Лапласа и учитывая (2), получим

,

где - матрицы передаточных функций объекта.

Элементы матрицы суть функции передачи отj-го входа к i-му выходу.

Эти функции можно представить как отношение двух полиномов относительно р:

(4)

Если коэффициенты а_i и b_j предварительно определяет численно, то имеем метод полиномиальных коэффициентов. Вычисление коэффициентов полиномов весьма трудоемкая задача, но она выполняется однократно для эквивалентной схемы заданной конфигурации и при заданных параметрах элементов, и затем для определения значения функции передачи на любой частоте достаточно воспользоваться формулой (4). Недостаток этого метода состоит в быстром росте погрешностей вычислений при увеличении размерности задачи.

Символический метод.

Здесь большая часть действий по определению коэффициентов а_i и b_j производится в общем виде, т. е. выполняются операции над символическими обозначениями, в результате чего а_i и b_j выражаются не через конкретные значения параметров элементов, а через их символические обозначения. Этот метод еще более трудоемкий, чем метод полиномиальных коэффициентов, но зато появляется возможность определения частотных характеристик с использованием (4) при произвольных значениях параметров элементов после однократного получения коэффициентов а_i и b_j, кроме того, наблюдается меньший рост погрешности с возрастанием размерности задачи для объектов, представляемых эквивалентными схемами средней и большой сложности (более 3-х десятков узлов). Однако в большинстве про­грамм анализа используется численный метод анализа частотных характеристик [путем решения системы (3)], поскольку затраты времени на получение коэффициентов а_i и b_j резко возрастают с ростом сложности эквивалент­ной схемы (пропорционально п⁴, где п - порядок системы уравнений).

Численный метод может быть реализован не только для объектов, описываемых системой уравнений в нормальной форме Коши, как это было показано для (1). Любой из вышерассмотренных методов формирования ММС во временной области может быть адаптирован для получения ММС в частотной области. Для этого достаточно ММ элементов для временной области заменить моделями для частотной области, поскольку топологические уравнения остаются без изменений.

Компонентные уравнения для простейших элементов типа R, С, соответственно ;;, гдеU и I - преобразованные по Фурье переменные составляющие соответствующих фазовых переменных.