Табличный метод получения математических моделей систем

В табличном методе в вектор базисных координат включаются переменные величины типа U и I для всех ветвей схемы. Выбор такого базиса позволяет в эквивалентной схеме иметь любые зависимые ветви. Из обобщенного метода табличный получается алгебраизацией компонентных уравнений, т. е. из вектора неизвестных согласно (5), исключаются производные переменных состояния.

Рассмотрим алгебраизацию компонентных уравнении использовании неявной формулы Эйлера для уравнений элемента типа С:

Подставляя , получим алгебраизованное компонентное уравнение элемента типа С:

где k - номер шага интегрирования; h_k - его величина.

Табличный метод иногда называют методом моделирования в полном координатном базисе. Полный координатный базис, так же как и обобщенный, избыточный; из него без ущерба для общности можно исключить величины постоянные или переменные, зависящие только от времени. В результате сокращается размерность ММС. Переменные, зависящие от времени, принадлежат источникам типа Е и I. При выборе дерева необходимо обеспечить попадание ветвей источников типа Е в дерево, а ветвей источников типа I - в хорды. При этом I_E для источников типа Е и U_i для источников типа I входят в координатный базис. Из ММС исключаются компонентные уравнения таких источников, а переменные I_E и U_i будут найдены из топологических уравнений.

Например, в ММС гидромеханической системы можно исключить переменную U_P и соответственно переменную , подставив вместоU_P в первое уравнение значение Р (I_Р остается в координатном базисе). Таким образом, из системы уравнений будут исключены одно уравнение и одна неизвестная, т. е. система уравнений останется совместной. Переменную I_F2 принадлежащую ветви дерева, а не хорде, исключить из системы уравнений такими простыми действиями не удается.

Метод получения ММС, в координатный базис которого включаются переменные типа U и I всех ветвей схемы, кроме постоянных или зависящих только от времени переменных, называют модифицированным табличным методом. Достоинство этого метода - простота формирования ММС и возможность иметь в эквивалентной схеме любые зависимые ветви, недостаток - высокая размерность ММС, несмотря на некоторое сокращение по Равнению с немодифицированным методом.

Узловой метод получения математических моделей систем

Узловой метод является популярным при создании программных комплексов анализа динамических систем. В качестве вектора базисных координат в этом методе используется вектор переменных типа узловых потенциалов, в качестве топологических уравнений - уравнения типа первого закона Кирхгофа.

(7),

где - вектор переменных, величин типа потенциала, характеризующих состояние узла (скорости, давления, температуры);I - вектор переменных величин типа потока (токи, силы, расходы, тепловые потоки).

Топологические уравнения типа (7) могут быть получены с помощью матрицы инциденций А:

(8)

Из уравнений обобщенного метода получения топологических уравнений уравнение (8) может быть выведено следующим образом. В эквивалентную схему объекта вводятся фиктивные ветви, связывающие все узлы схемы с базовым (базовым может быть любой узел эквивалентной схемы; как правило, это узел, к которому подключено наибольшее количество ветвей). Проводимости этих ветвей равны нулю, т. е. переменная типа I в этих ветвях равна нулю. В дерево включается только эти фиктивные ветви.

Рис. 5. Матрица инциденций графа.

Для графа, изображенного на рис. 5, без учета ветвей, отмеченных пунктиром, построим матицу инциденций А (таблица 7).

Таблица 7.

	а	б	в	г	д	е	ж	з	и
1	-1	+1
2		-1	+1	+1
3			-1		+1	+1
4				-1	-1		+1
5						-1		+1	+1
6							-1	-1

Для этого же графа с учетом того, что ветви, отмеченные пунктирными линиями, являются его деревом, построим М-матрицу (таблица 8).

Таблица 8.

	к	л	м	о	н	п
а	+1
б	-1	+1
в		-1	+1
г		-1		+1
д			-1	+1
е			-1		+1
ж				-1		-1
з					-1	+1
и					-1

Фиктивные ветви в эквивалентной схеме имеют направление от небазового узла к базовому.

Сравним полученную М-матрицу с матрицей инциденций А. Если каждой фиктивной ветви поставить в соответствие узел, из которого она выходит, то .

Преобразуем общие топологические уравнения:

(1)

(2)

Так как ветви дерева фиктивные, то и из уравнения (2) получим, гдеI - вектор переменных типа потока реальных ветвей.

Из уравнения (1) получим уравнение связи переменных типа потенциала с переменными типа разности потенциаловU на реальных ветвях. Так как , тоили.

Рис. 6. Граф.

В узловом методе в вектор неизвестных включается вектор или, компонентные уравнения алгебраизуются так же, как и в табличном методе, но накладывается ограничение на вид компонентного уравнения: оно обязательно должно быть представлено в виде зависимости переменной типа потока от переменной типа потенциала, т.е., либо от времени.

Тогда алгебраизованная и линеаризованная система уравнений приобретает вид

(9)

где - матрица частных производных компонентных уравнений по переменным типа разности потенциалов;К - вектор невязок компонентных уравнений.

Исключим из вектора неизвестных подвекторы и. Из первого уравнения системы (9) имеем. Подставим это значение в третье уравнение системы, а полученный результат - во второе:, или

(10)

где- матрица Якоби (матрица узловых проводимостей), алгоритм экономического вычисления которой будет рассмотрен ниже; - вектор сумм переменных типа потока в узлах схемы.

Уравнение (10) и есть линеаризованная MMС для узлового метода.

Рассмотрим, что представляет собой матрица .

Для графа, показанного на рис. 6, построим матрицу инциденций (таблица 9), приняв за базовый узел 5.

Таблица 9

	а	б	в	г	д	е
1	-1	-1		+1
2		+1	-1
3			+1	-1	-1
4					+1	-1

Матрица Y₃₁ при оговоренной структуре компонентных уравнений будет диагональной с размерностью, равной количеству ветвей. Для удобства обозначим именем ветви, тогда:

Покажем, что элементы матрицы Y есть не что иное, как узловые проводимости . Узловой поток

Поток в ветви считается положительным, если направлен от узла:

Предполагая, что ,, , получим , т. е. элементy₁₁ и матрицы Y.

Аналогично можно определить остальные элементы матрицы. Рассмотрим экономичную процедуру формирования матрицы Якоби: поочередно выбирается каждая ветвь эквивалентной схемы. Пусть очередная k-я ветвь включена между узлами с номерами i и j. Тогда проводимость этой ветви даст слагаемое в элементы матрицы исо знаком плюс, а в элементыи- со знаком минус.

Отличительная черта узлового метода - простое формирование ММС, имеющих в своем составе многополюсные элементы. Допустим, есть элемент, включенный между тремя узлами с номерами i, j, k. Тогда этот элемент даст слагаемые в элементы матрицы Якоби:

Примечание. В матрице Якоби многополюсник представлен только своими внешними узлами, в то время как может иметь и внутренние.

При применении узлового метода в эквивалентной схеме допускаются и зависимые ветви, но аргументами функциональных зависимостей должны быть только элементы вектора . Допустим, переменная типа потока вk-й ветви, включенной между узлами с номерами i и j, зависит от переменных величин типа потенциала в l-м m-м узлах:

.

Тогда эта зависимость приведет к появлению следующих элементов матрицы:

Достоинство узлового метода - простота формирования матрицы Якоби и низкий порядок получаемой системы уравнений, поскольку именно для этого метода характерно предварительное исключение большого числа неизвестных из обобщенного базиса.

Недостаток узлового метода - ограничения, накладываемые на тип используемых элементов: в узловом методе, запрещены идеальные источники переменной типа разности потенциалов, а также ветви, зависимые от переменных типа потока. Эти недостатки в узловом методе можно устранить введением специальных ветвей, которые не должны искажать физических процессов в объекте. Последовательно с идеальным источником типа разности потенциалов включается ветвь типа R, благодаря чему этот источник можно свести к источнику типа потока (рис. 8).

Рис. 8. Преобразование источника типа Ев источник типаI.

Последовательно с ветвями, потоки через которые являются управляющими, включается ветвь, у которой связь между переменными типа потока и типа разности потенциалов - линейная, т. е. ветвь типа R. Тогда зависимость от переменной типа потока через ветвь может быть заменена зависимостью от разности потенциалов на этой вспомогательной ветви.

Объясним сказанное. Пусть есть зависимый источник потока с компонентным уравнением , где- поток через управляющую ветвь, последовательно с ней включается ветвь типа R с компонентным уравнениемтогда компонентное уравнение зависимого источника можно записать в виде.

Преобразования эквивалентной схемы, выполняемые для снятия ограничений в узловом методе, не всегда удобны для пользователя, более формально подобные ограничения снимаются в модифицированном узловом методе. Он получается, если базис узлового метода расширить переменными типа потока управляющих ветвей и источников типа разности потенциалов. Поскольку увеличивается количество неизвестных, соответственно должно увеличиться количество уравнений. Уравнения узло­вого метода дополняются компонентными уравнениями управляющих ветвей и источников типа разности потенциалов. Аддитивный вклад модели в левую и правую ча­сти системы уравнений :

Здесь и- потенциалы узлов 1 и 2, к которым подключен источник;I_Е - ток, протекающий через источник (значения I_Е определяются по результатам предыдущих итераций); - приращения соответствующих переменных.

Достоинство модифицированного узлового метода - получение ММС сравнительно невысокого порядка при практически любых зависимых ветвях, недостаток - дискретизация компонентных уравнений реактивных ветвей методами интегрирования, в результате чего смена метода интегрирования может привести к необходимости смены всех подпрограмм элементов, содержащих реактивные элементы, т. е. библиотека методов интегрирования САПР в этом случае жестко связана с библиотекой моделей элементов.