Аналогии компонентных уравнений.

В большинстве технических систем можно выделить три типа простейших элементов:

A. Элемент типа R - элемент диссипации энергии. На этом элементе, как правило, происходит преобразование энергии в тепловую.

Б. Элемент типа С.

B. Элемент типа L.

На элементах типа С и L происходит накопление потенциальной или кинетической энергии.

Сочетанием этих простейших элементов, а также источников фазовых переменных может быть получена ММ технического объекта практически любой сложности.

Рассмотрим основные физические подсистемы с точки зрения аналогий компонентных уравнений.

Для каждой физической подсистемы характерны свои законы, однако для простейших элементов форма выражающих их уравнений оказывается одинаковой.

Электрическая подсистема.

Фазовыми переменными электрической подсистемы являются токи I и напряжения U. Запишем уравнения трех типов простейших элементов:

A. Уравнение сопротивления (закон Ома) , гдеR - электрическое сопротивление.

Б. Уравнение емкости , гдеС - электрическая емкость.

B. Уравнение индуктивности , гдеL - электрическая индуктивность.

Механическая поступательная подсистема.

Фазовые переменные механической поступательной подсистемы - силы F и скорости V - соответственно аналоги токов и напряжений. Запишем уравнения трех типов простейших элементов:

А. Уравнение вязкого трения , где- аналог электрического сопротивления;k – коэффициент вязкого трения.

Б. Уравнение массы (уравнение второго закона Ньютона) , где- ускорение,- аналог электрической емкости (масса элемента).

В. Уравнение пружины , гдех - перемещение, k - жесткость пружины.

Продифференцируем обе части уравнения по времени: , или, где- аналог электрической индуктивности.

Аналогичное компонентное уравнение можно получить из закона Гука для элемента, у которого учитывается сжимаемость, т. е. , гдеР - напряжение в элементе; Е - модуль Юнга; l - длина элемента; изменение длины элемента. Умножив обе части этого уравнения на площадьS поперечного сечения элемента и продифференцировав по времени, получим:

;

, ,

или ; .

Механическая вращательная подсистема.

Фазовые переменные этой подсистемы - моменты сил М и угловые скорости - соответственно аналоги токов и напряжений. Запишем уравнения трех типов простейших элементов:

А. Уравнение вязкого трения вращения ,- аналог электрического сопротивления;k - коэффициент трения вращения.

Б. Основное уравнение динамики вращательного движения , где- аналог электрической емкости (момент инерции элемента).

С. Уравнение кручения бруса с круглым поперечным сечением , гдеМ - крутящий момент; G - момент сдвига; J_p - полярный момент инерции сечения; - относительный угол закручивания.

Рассмотрим брус конечной длины, тогда , где- угол закручивания;l - длина бруса. Продифференцируем обе части уравнения по времени, т. е.

,

или, если учесть, что и,

то , гдеL_BP - аналог электрической индуктивности (вращательная гибкость).

Аналогичное компонентное уравнение можно получить для спиральной пружины, уравнение которой , где с - жесткость пружины. Продифференцировав обе части уравнения по времени, получим;.

Гидравлическая (пневматическая) подсистема.

Фазовые переменные гидравлической подсистемы – массовые расходы Q_m и давления Р - соответственно аналоги токов и напряжений. Запишем уравнения трех типов простейших элементов:

А. Уравнение для участка трубопровода при стационарном ламинарном течении жидкости , где- аналог электрического сопротивления (- кинематическая вязкость,d и l - диаметр и длина трубопровода).

Б. Уравнение сжимаемости жидкости в некотором объеме V при воздействии давления . Так как(рис. 1), то, умножив обе части уравнения наи продифференцировав по времени, получим, или, где- аналог электрической емкости;- плотность жидкости;S - площадь поперечного сечения сосуда, - скорость движения жидкости через сечение.

Рис. 1. Иллюстрация к определению гидравлической емкости

В. Уравнение Эйлера (закон движения идеальной жидкости) .

Если рассмотреть участок трубопровода длиной l с давлениями на концах P₁ и Р₂, то при замене производной первой разностью найдем. Для получения в левой части уравнения массового расхода умножим обе его части на, т. е.,

или , где- аналог электрической индуктивности.

Закон движения реальной жидкости описывается уравнением Навье-Стокса, которое для одномерного случая выглядит так:

,

где G_M - массовые силы; - вторая вязкость.

Выделяя участок трубопровода и считая , получим, что участок может быть представлен гидравлическими сопротивлением и индуктивностью (массовыми силами пренебрегаем), т. е..

Тепловая подсистема.

Фазовые переменные этой подсистемы - тепловые потоки Ф и температура Т - соответственно аналоги токов и напряжений. Запишем уравнения трех типов простейших элементов:

А. Из соответствующих уравнений законов Фурье и Ньютона для теплопроводности и конвекции , где- плотность теплового потока;- коэффициент теплопроводности;Т₁ и Т₂ - температура на границах рассматриваемого участка длиной l для индуктивного теплообмена и , где- коэффициент теплообмена через конвекцию;Т₁ - температура тела; Т₂ - температура окружающей среды для конвективного теплообмена.

Для получения теплового потока умножим обе части уравнений на площадь S поперечного сечения выделенного участка, т. е. или;или, где- кондукционное сопротивление;- конвекционное сопротивление.

Б. Уравнение теплоемкости тела , где- изменение количества теплоты в теле при изменении температуры наdT. Так как изменение количества теплоты в единицу времени есть тепловой поток, то , где- аналог электрической емкости;с - удельная теплоемкость; m - масса тела.

В. Когда фазовыми переменными являются тепловой поток и температура, компонентное уравнение, соответствующее тепловой индуктивности, не имеет физического смысла.