Метод граничных элементов.

При решении краевых задач приближенные модели технических объектов можно строить на основе интегральных уравнений. При этом первый шаг на пути к решению состоит в переходе от дифференциальных уравнений в частных производных к эквивалентным интегральным уравнениям. Во многих случаях, когда такой переход оказывается успешным, решение исходной задачи может быть получено с минимальными вычислительными затратами и высокой степенью точности. Кроме того, размерность исходной задачи понижается на 1, двухмерные задачи преобразуются в одномерные.

Примером указанного подхода к решению краевых задач служат методы интегральных граничных элементов (МГЭ). Развитие МГЭ началось сравнительно недавно, причем мощным стимулом к этому послужило создание быстродействующих ЭВМ. Все разновидности МГЭ используют принцип суперпозиции, поэтому область их применения ограничена классом полностью линейных или линейных относительно приращений задач. Однако к такому классу относятся многие важные для развития техники задачи, например МГЭ успешно используются для решения задач теории упругости, механики жидкости и газов.

Все МГЭ строятся на основе общих принципов. При этом различают прямые и непрямые МГЭ.

В прямых МГЭ искомыми переменными краевой задачи являются величины, имеющие реальный физический смысл, например, в задачах теории упругости - усилия и смещения, возникающие в элементах конструкции.

В непрямых МГЭ решение исходной задачи выражается через функции плотности, которые сами по себе не имеют реального физического смысла. После того как функции плотности найдены, значения реальных физических параметров задачи могут быть получены из них путем простого интегрирования.

В любом варианте МГЭ результатом перехода от дифференциальных уравнений в частных производных к интегральным уравнениям в конечном счете является система уравнений, включающая значения переменных только на границе заданной области. Поэтому в отличие МКЭ и МКР последующая дискретизация задачи проводится только на границе исследуемой области. Последнее обусловливает, во-первых, более высокую по сравнению с МКР и МКЭ точность решения, во-вторых, существенно меньший объем входных данных при реализации методов на ЭВМ.

Переход от исходного дифференциального уравнения интегральному.

Рассмотрим на простом примере алгоритм перехода. В двухмерной однородной области произвольной формы с коэффициентом проницаемости k требуется найти распределение функции , описанной уравнением

(1),

которое является частным случаем квазигармонического уравнения (1.1) при .

На границе L рассматриваемой области заданны граничные условия первого рода

(2)

Этап 1. Нахождение сингулярного решения. В МГЭ используется то обстоятельство, что для большинства уравнений в частных производных существуют сингулярные (фундаментальные) решения, отвечающие единичным возмущающим воздействиям в неограниченной области. Для рассматриваемой задачи сингулярное решение записывается в виде

(3)

где - значение искомой функции в произвольной точке области;- единичное возмущающее воздействие, приложенное в точке.

Начала координат для систем х и совпадают. Величинаопределяется, в свою очередь уравнением

,

где ивыбрано так, чтоG=0 при . Уравнение (3) определяет искомую функциюотносительно некоторого нулевого значения при.

Этап 2. Введение фиктивных источников. Рассматриваемая область G1 «помещается» в бесконечную область, для которой известно решение (3). Потребуем, чтобы значения на границе области совпадали с заданным граничным условием (2). Чтобы это требование выполнялось, введем на границе фиктивные источники неизвестной интенсивностив расчете на единицу длины границыL. Подставив в (3) и проинтегрировав его по длине границы, получим; искомое решение:

(4)

В результате проделанных действий от исходного дифференциального уравнения (1) удалось перейти эквивалентному интегральному уравнению (4), в котором появилась произвольная постоянная С, обеспечивающая единственное решение в связи с тем, что функция рассчитывается относительно некоторого нулевого значения. В дальнейшемС подбирается таким образом, чтобы суммарное «излучение» от всех источников обращалось в нуль на бесконечно удаленной границе. Для обеспечения заданных граничных условии необходимо, чтобы выполнялось равенство

(5)

На основании равенства (5) строится система интегральных уравнений относительно неизвестных фиктивных источников . После того как они будут найдены значения искомой функциив любой внутренней точке области легко определяются из (4).

Если бы (5) удалось проинтегрировать аналитически, то для исходной задачи было бы найдено точное решение. На практике (5) решается приближенно, что является единственным источником погрешности в МГЭ.

Дискретизация границы рассматриваемой области.

Для приближенного решения (5) производится дискретизация границы рассматриваемой области. Аналогично МКЭ разбиение границы на элементы можно производить различными способами. В простейшем случае граница аппроксимируется линейными элементами. Отдельный элемент определяется координатой своей средней точки. Интенсивность неизвестных источников в пределах элемента принимается постоянной. С учетом принятых допущений выражение (5) запишется в виде

(6)

где - координата средней точкиq-го граничного элемента.

Уравнение (6) определяет значение функции в средней точке q-го граничного элемента.

В матричной форме (6) принимает вид

(7)

где - длинаq-го граничного элемента; р^(е) - вектор-столбец размерности N; - вектор-строка той же размерности.

При этом каждый элемент вектора-строки определяется по формуле

(8)

С учетом (8) уравнение (7) перепишется так:

Составляя аналогичные уравнения для каждого граничного элемента и проводя суммирование по всем элементам, получим систему алгебраических уравнении

где ир - N-мерные векторы; I - единичный N-мерный вектор-столбец; - матрица коэффициентов размерностиNхN.

Т. о., при реализации на ЭВМ алгоритм МГЭ состоит из следующих этапов:

Этап 1. Формирование входных данных (номера узлов граничных элементов, номера самих элементов и т. д.).

Этап 2. Интегрирование функций для получения матрицы коэффициентов.

Этап 3. Составление разрешающей системы алгебраических уравнений.

Этап 4. Решение системы для определения неизвестных фиктивных источников.

Этап 5. Подстановка найденных значений в определяющее интегральное уравнение и вычисление значений функций во внутренних точках области.

Многие этапы рассмотренного алгоритма аналогичны соответствующим этапам МКЭ. Достаточно нетривиальным является этап 2 алгоритма, связанный с интегрированием функции . Поэтому в целом программирование МГЭ требует несколько больших усилий по сравнению с реализацией МКЭ. Однако последующая эксплуатация программы проще с точки зрения пользователя, так как объем задаваемой входной информации значительно меньше, чем в МКЭ.