Занятие №5
5.1. Дискретно-детерминированные модели.
Дискретно-детерминированные модели представляют собой другой широкий класс динамических систем, функционирующих в дискретном времени. Важное место в моделировании этого класса систем занимают конечные автоматы, которые представляют системы, перерабатывающие дискретную информацию и меняющие свои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени.
Автомат представляет собой – устройство, на которое подаются входные сигналы и снимаются выходные, имеющие внутренние состояния, изменяемые в процессе его функционирования. Математические модели в виде конечного автомата получили название F – схем от английского finite automate – конечный автомат.
Абстрактный
конечный автомат характеризуется шестью
элементами: конечным множеством Х
входных сигналов (входной алфавит),
конечным множеством Y
выходных сигналов (выходной алфавит),
конечным множеством Z
внутренних состояний (внутренний алфавит
или алфавит состояний), функцией переходов
,
функцией выходов
и начальным состоянием
.
Таким образом, конечный автомат
определяется шестеркой:
(29)
Такой автомат функционирует в дискретном автоматном времени, моментами которого являются такты – равные интервалы времени, примыкающие друг к другу. Каждому такту соответствуют постоянные значения входного и выходного сигналов и внутренние состояния x(t), y(t) и z(t) соответственно (t = 0, 1, 2, …).
Абстрактный
автомат функционирует следующим образом:
в момент t,
будучи в состоянии z(t),
автомат принимает на входном канале
сигнал
и выдает на выход сигнал
,
переходя в состояние
.
Причем
.
Автомат
в процессе своей работы реализует
некоторое отображение множества слов
входного алфавита X
на множество слов выходного алфавита
Y,
т.е. если на вход конечного автомата,
установленного в начальное состояние
подавать в некоторой последовательности
буквы входного алфавита х(0), х(1), х(2), …,
то на выходе автомата будут последовательно
появляться буквы выходного алфавита
y(0),
y(1),
y(2),…
.
В зависимости от закона функционирования абстрактные автоматы подразделяются на автоматы первого и второго рода.
Для F – автомата первого рода, называемого автоматом Мили, можно записать:
(30)
Для F – автомата второго рода новое состояние и выходной сигнал определяется как:
(31)
Автомат
второго рода, выходной сигнал которого
определяется его состоянием
,
называется автоматом
Мура.
Уравнения (30) – (31), задающие функционирование F – автомата, являются частным случаем уравнения (29) для детерминированной системы S с единственным дискретным входным сигналом Х.
По числу состояний различают конечные автоматы с памятью и без памяти. Автоматы с памятью имеют более одного состояния, а автоматы без памяти обладают лишь одним состоянием. Автоматы без памяти называют комбинационными или логическими схемами. Работа автомата описывается уравнением:
.
Если алфавиты X и Y состоят из двух букв, то функция называется булевой.
По характеру отсчета дискретного времени конечные автоматы делятся на синхронные и асинхронные. В синхронных автоматах моменты времени поступления входных сигналов строго фиксированы и определяются синхронизирующими сигналами. После очередного входного сигнала происходит переход в новое состояние и выдача сигнала на выходе. Реакция автомата на каждое значение входного сигнала заканчивается за один такт, длительность которого определяется интервалом между соседними синхронизирующими сигналами. Асинхронный автомат считывает входной сигнал непрерывно в течение интервала времени, продолжительность которого не имеет четкой фиксации. Под действием входного сигнала автомат может несколько раз изменять свое состояние, выдавая выходной сигнал для каждого состояния. При этом автомат переходит в устойчивое состояние, которое не может быть изменено данных входным сигналом.
Для
задания конечного F
– автомата необходимо описать все
элементы множества
,
т. е. его алфавиты, функции и начальное
состояние в момент времени t
= 0.
Существует несколько способов задания F – автомата, из которых наиболее часто используются табличный, графический и матричный.
Табличный
способ описания абстрактных автоматов
определяет таблицы переходов и выходов,
в которых строки соответствуют входным
сигналам Х автомата, а столбцы – его
состояниям Z.
На пересечении i–ой
строки и k–го
столбца таблицы переходов располагается
значение
функции переходов, а в таблице выходов
– значение
функции выходов (таблицы 5.1. и 5.2.).
Таблица 5.1. Функции переходов.
|
|
|
|
… |
|
|
. . .
|
. . .
|
. . .
|
… …
… |
. . .
|
Таблица 5.2. Функции выходов.
|
|
|
|
… |
|
|
. . .
|
. . .
|
. . .
|
… …
… |
. . .
|
Для F – автомата Мура обе таблицы можно совместить и получить таблицу переходов (таблица 5.3.), в которой ставится взаимнооднозначное соответствие между выходными сигналами автомата его внутренними состояниями.
Таблица 5.3. Функции переходов и выходов.
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
. . .
|
. . .
|
. . .
|
… …
… |
. . .
|
Примеры табличного способа задания F-автомата Мили F1 с тремя состояниями, двумя входными и двумя выходными сигналами приведены в таблице 5.4., а для автомата Мура F2 – в таблице 5.5.
Таблица 5.4. F – автомат Мили.
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
переходы |
|||
|
|
|
|
|
|
выходы |
|||
|
|
|
|
|
Таблица 5.5. F – автомат Мура.
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Графическое
представление автомата использует
понятие ориентированного графа, в
котором вершины соответствуют состояниям
автомата, а дуги – переходом из одного
состояния в другое. Дуги, соединяющие
две вершины
помечаются входным сигналом
,
вызывающим переход автомата из состояния
в состояние
.
Таким образом, задается функция переходов.
Аналогично определяется и функция
выходов – дуги графа помечаются
соответствующими выходными сигналами.
При
решении задач моделирования нередко
используют матричное задание конечного
автомата. Матрица соединений автомата
является квадратной размером
,
где N
– число состояний автомата. Строки
матрицы соответствуют исходным состояниям
автомата, столбцы – состояниям перехода.
На пересечении i-ой
строки и j-го
столбца указывается пара
,
соответствующая входному сигналу,
вызывающему переход автомата из состояния
в состояние
и выходному сигналу, выдаваемому при
этом переходе. Для автомата Мура элементы
содержат только входные сигналы, а выход
автомата описывается вектором выходов:
Описанные способы задания F-автоматов проиллюстрируем примером автомата Мили. Зададим таблицу переходов F-автомата в следующим виде:
Таблица переходов.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица выходов данного автомата:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда графическое изображение этого же автомата будет таким, как это изображено на рис. 5.1.
Рисунок 5.1. Графическое изображение F – автомата.
Матричное описание автомата будет определяться следующей матрицей:
Как
уже говорилось, если на вход автомата
подавать цепочку входных сигналов
,
на выходе получаем цепочку выходных
сигналов
.
Так, например, для описанного автомата,
входная цепочка:
будет порождать следующую выходную цепочку:
,
которая вырабатывается автоматически в результате его последовательной смены состояний:
.
Для иллюстрации методов моделирования систем в виде конечных автоматов рассмотрим следующие примеры.