методические указание по лабораторым работам / МУ_Практическая работа_2 2013

ВВЕДЕНИЕ

Для формирования полной математической модели на основе компо-

нентных и топологических уравнений широкое применение получил узло-

вой метод. Для его использования необходимо сформировать матрицу ин-

циденций, отражающую структуру связей всех элементов системы. Мат-

рица инциденций формируется на основании графических моделей техни-

ческих объектов. Узловой метод имеет классический и модифицированный вариант (для получения модели в нормальной форме Коши). Данные мето-

дические указания являются третьей работой по разработке и анализу ма-

тематических моделей.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Получение навыков построения математических моделей техниче-

ских объектов на примере гидравлической системы, используя матрицу инциденций и узловой метод формирования моделей.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Информация о математической модели гидравлической системы,

которую содержит орграф, можно представить в виде матрицы инцидент-

ности А, сформированной по следующему правилу. 1. Размерность матрицы α х β:

а) α - число строк соответствует каждому узлу орграфа, за исключе-

нием базового;

б) β - число столбцов соответствует ветвям орграфа. 2. Элементы матрицы:

а) отсутствие связи между узлом и ветвью – "0";

б) если ветвь входит в узел – "1";

2

в) если ветвь выходит из узла – "-1".

При наличии внешнего источника типа потока Q*В он формально заменя-

ется на источник типа потенциала P*B и добавляется условная масса m*B.

Матрицу инциденций А можно представить состоящей из подматриц инерционных АИ, диссипативных АД, упругих АУ ветвей и подматрицы

ветвей источников потенциалов АВ.

Подматрица инерционных элементов АИ всегда единичная диагональная и может быть не отражена при составлении матрицы.

Запишем компонентные уравнения гидравлической системы в мат-

ричной форме.

1. Для инерционных элементов

В формулах (2)-(4) использованы следующие обозначения:

P И , РД , РУ - векторы потенциалов (давлений) соответствующих элементов;

Q И , Q Д , Q У - векторы потоков (расходов) соответствующих элементов; m, μ, c - диагональные матрицы параметров элементов гидравлической системы.

Топологические уравнения гидравлической системы:

1. Уравнение равновесия потенциалов ветвей орграфа, инцидентных i-ому узлу:

3

2. Уравнение непрерывности фазовой переменной типа потока l-ой ветви:

Используя матрицу инциденций уравнения (5), (6), можно записать в

матричной форме:

Вектор потенциалов системы Р представим состоящим из-под век-

торов инерционных, диссипативных, упругих элементов и внешних воз-

действий на систему

Учитывая топологическое уравнение (8), фазовые переменные QИ , QД , QУ

4

можно выразить через узловые потоковые переменные Q . В результате

получают матричное уравнение, являющееся классическим вариантом уз-

лового метода:

Для перехода к системе дифференциальных уравнений в нормальной

форме Коши выполняют следующие преобразования:

1.Подставляют значения РУ = -АУ × c × АТС ∫ Qdt в уравнение (13) и разре-

шают его относительно производной.

2.Определяют производную по времени от вектора РУ и сводят в единую систему:

Так как матрицы АИ и m одного и того же порядка, то матричное произве-

дение

Уравнения (17)-(18) представляют собой модифицированный узло-

вой метод, позволяющий получить динамическую модель в нормальной форме Коши.

5

ЗАДАНИЕ

1. Сформировать матрицу инциденций на основе ориентированного графа,

построенного при выполнении практической работы "Графические формы формирования математической модели гидравлической системы" согласно вариантам заданий.

2. Используя модифицированный узловой метод формирования моделей,

разработать математическую модель гидравлической системы в статиче-

ском и динамическом режимах.

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ

На основании орграфа (рис.1) сформируем матрицу инциденций

(таблица 1), по правилам, изложенным в основных теоретических сведени-

ях.

с2

Рис. 1. Орграф гидравлической системы

6

Таблица 1

Матрица инциденций гидравлической системы

На основании матрицы инциденций записывают подматрицы упру-

гих АУ, диссипативных АД элементов и подматрицу источников потенциа-

лов АВ:

Матрицы параметров инерционных, упругих и диссипативных эле-

ментов гидравлической системы соответственно:

Матрица потенциалов источников Рв, упругих Ру и диссипативных

Рд, элементов и матрица фазовых переменных типа потока Q:

7

Вычислим матричное произведение слагаемых правой части урав-

Складывают полученные матрицы в соответствии с уравнением (17)

и учитывают зависимость (18):

8

Давления диссипативных элементов на основании формулы (19):

С учетом численных значений параметров модели, найденных во

второй работе, уравнения (20) приобретает вид:

9