методические указание по лабораторым работам / МУ_практическая работа_1_0 2013

ВВЕДЕНИЕ

В инженерной практике при моделировании на макроуровне методом сосредоточенных масс часто используют графические формы представле-

ния математических моделей. Для использования графических форм должно существовать правило однозначного соответствия условных изо-

бражений элементов графической модели и компонентов инвариантной математической модели. Наиболее распространенными формами графиче-

ских моделей являются динамическая модель и ориентированный граф

(орграф). Является первой работой по разработке и анализу математиче-

ских моделей.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Получение навыков построения графических форм математических моделей технических объектов (динамической модели и ориентированного графа) на примере гидравлической системы.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

При построении динамической модели методом сосредоточенных масс выделяют некоторые абстрактные материальные субстанции, наделяя их определенными физическими свойствами. Такими субстанциями явля-

ются сосредоточенные массы, эквивалентные массам соответствующих частей технического объекта, и элементы, лишенные массы, отображаю-

щие характер взаимодействия сосредоточенных масс.

Сосредоточенные массы обладают инерционными свойствами и спо-

собностью накапливать кинетическую энергию. Их называют инерцион-

ными элементами. Взаимодействие сосредоточенных масс осуществляется посредством упругих и диссипативных элементов. Упругие элементы ото-

2

бражают упругие свойства динамической системы, обладают способно-

стью накапливать потенциальную энергию. Диссипативные элементы ото-

бражают свойства диссипации (рассеивания) энергии конструктивными элементами технического объекта, обусловленные силами внутреннего трения, пропорциональными относительной скорости перемещения взаи-

модействующих сосредоточенных масс.

Состояние сосредоточенных масс характеризуется фазовыми коор-

динатами типа потока, позволяющими определять положение масс в мно-

гомерном фазовом пространстве и скорости их движения. Взаимодействие различных элементов модели отображается переменными типа потенциа-

ла. В гидравлической системе фазовая переменная типа потока расхода –

Q, м3/с, а типа потенциала давление - р, Па.

Физическое свойство простого элемента описывается моделью, вы-

ражающей зависимость между этими фазовыми переменными и называет-

ся компонентным уравнением. Компонентные уравнения гидравлической системы для инерционных, диссипативных и упругих элементов отражены в таблице 1.

3

В таблице 1 приняты обозначения: mг - коэффициент массы, кг/м4;

μГЛ - коэффициент линейных потерь, Н·с/м5;

μГН - коэффициент нелинейных потерь, Н·с/м5;

сг - коэффициент гидравлической жесткости, Н/м5.

Коэффициенты mГ, μГ, сГ являются параметрами соответственно уп-

ругих, диссипативных и инерционных элементов гидравлической системы.

Каждый из элементов на динамической модели имеет свое условное обо-

значение (таблица 1).

Для получения полной модели системы все компонентные уравнения простых элементов объединяются в общую систему с помощью физиче-

ских законов, выражающих условия равновесия и непрерывности фазовых переменных. Уравнения этих законов называют топологическими. Тополо-

гические уравнения для гидравлической системы имеют вид:

1. Условие равновесия потенциалов, действующих на сосредоточен-

ные массы:

где i – количество фазовых переменных типа потенциала (давление). 2. Условие непрерывности потоков жидкости:

где k - количество фазовых переменных типа потока (расход).

Графические изображения элементов динамической модели отожде-

ствляются с их компонентными уравнениями, а соединения элементов со-

ответствуют топологическим уравнениям.

На основании исходной принципиальной схемы гидравлической сис-

темы строится динамическая модель. Участки магистралей представляют как последовательное соединение инерционного и диссипативного элемен-

та, причем для инерционного элемента указывается направление движения

4

рабочей жидкости.

В точки ветвления магистралей устанавливают упругие элементы,

учитывающие сжимаемость жидкости и деформируемость стенок трубо-

провода. Данные элементы осуществляют дифференциальное соединение всех инерционных элементов и источника потока.

Внешние воздействия на гидравлическую систему создаются потре-

бителями и насосами. Если насос в гидравлической системе установлен без переливного клапана, то его считают источником потока (расхода), в про-

тивном случае – его считают источником потенциала (давления). Их ус-

ловное обозначение на динамической модели гидросистемы представлено в таблице 2.

Таблица 2

Условное обозначение внешних воздействий на гидравлическую систему

Структурирование динамической модели и идентификация элемен-

тов позволяют формализовать процесс составления модели технического объекта. Для этого удобно использовать графические формы моделей в ви-

де ориентированного графа.

Узлы орграфа соответствуют сосредоточенным массам, а ветви - ком-

понентам математической модели (инерционные, диссипативные, упругие

5

элементы и внешние воздействия). Базовый узел (с нулевым номером) ото-

бражает инерциальную систему отсчета фазовых координат типа потока и является обязательным элементом в любом орграфе.

Ориентированный граф строится по следующему правилу.

В ветвях источников внешних воздействий сигналы направляют от базы к узлу, если энергия подводится к узлу и источник обеспечивает воз-

растание потоковой переменной узла, в противном случае – наоборот.

Во всех ветвях инерционных элементов направление сигналов от уз-

ла к базе. Такое направление характеризует затраты энергии источников на увеличение кинетической энергии инерционных элементов.

Вветвях диссипативных элементов (для рассматриваемых в работе схем гидравлической системы) направление аналогично инерционным элементам от узлов к базе.

Вветвях упругих компонентов стрелки указывают направление пе-

редачи энергии от источников к потребителям.

В ветвях всех элементов кроме направления записывается параметр каждого элемента (mг для инерционного, µГ для диссипативного и сг для упругого элементов), а в ветвях источников внешних воздействий – фазо-

вая переменная (давление р или расход Q).

Построение динамической модели и на ее основе ориентированного графа рассмотрено в примере выполнения задания.

ЗАДАНИЕ

На основании вариантов заданий, представленных в таблице 3 и пред-

ставляющих собой схемы гидравлических систем, сформировать графиче-

ские математические модели в виде:

1)динамической модели гидравлической системы;

2)ориентированного графа.

6

системы. Гидравлические магистрали представлены как дискретные эле-

менты, наделенные инерционными и диссипативными свойствами, а масса жидкости в них – как сосредоточенная. Электрогидравлический вихревой элемент также рассмотрен как элемент, обладающий инерционными и дис-

сипативными свойствами. В точках ветвления установлены упругие эле-

менты, учитывающие сжимаемость жидкости и деформируемость трубо-

провода. Внешние воздействия на систему представлены в виде источни-

ков потенциалов – давлений насосов и потребителей. На рис.2 представле-

на динамическая модель гидравлической системы.

Рис.2. Динамическая модель гидравлической системы

На основании динамической модели построен ориентированный граф, являющийся графической формой модели гидравлической системы и позволяющий идентифицировать структуру и физические свойства систе-

мы (рис.3).

Ветви упругих элементов расставлены от насосов к электрогидрав-

лическому элементу и от него к потребителям.

9