Министерство образования и науки Российской федерации

Федеральное агентство по образованию

Саратовский государственный технический университет

Балаковский институт, техники, технологии и управления

Графические формы математической модели гидравлической системы

Методические указания к выполнению практических работ

по курсу “Моделирование систем” для студентов специальности 210100 всех форм обучения

Одобрено

редакционно-издательским советом

Балаковского института техники,

технологии и управления

Балаково 2007

ВВЕДЕНИЕ

В инженерной практике при моделировании на макроуровне методом сосредоточенных масс часто используют графические формы представления математических моделей. Для использования графических форм должно существовать правило однозначного соответствия условных изображений элементов графической модели и компонентов инвариантной математической модели. Наиболее распространенными формами графических моделей являются динамическая модель и ориентированный граф (орграф). Является первой работой по разработке и анализу математических моделей.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Получение навыков построения графических форм математических моделей технических объектов (динамической модели и ориентированного графа) на примере гидравлической системы.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

При построении динамической модели методом сосредоточенных масс выделяют некоторые абстрактные материальные субстанции, наделяя их определенными физическими свойствами. Такими субстанциями являются сосредоточенные массы, эквивалентные массам соответствующих частей технического объекта, и элементы, лишенные массы, отображающие характер взаимодействия сосредоточенных масс.

Сосредоточенные массы обладают инерционными свойствами и способностью накапливать кинетическую энергию. Их называют инерционными элементами. Взаимодействие сосредоточенных масс осуществляется посредством упругих и диссипативных элементов. Упругие элементы отображают упругие свойства динамической системы, обладают способностью накапливать потенциальную энергию. Диссипативные элементы отображают свойства диссипации (рассеивания) энергии конструктивными элементами технического объекта, обусловленные силами внутреннего трения, пропорциональными относительной скорости перемещения взаимодействующих сосредоточенных масс.

Состояние сосредоточенных масс характеризуется фазовыми координатами типа потока, позволяющими определять положение масс в многомерном фазовом пространстве и скорости их движения. Взаимодействие различных элементов модели отображается переменными типа потенциала. В гидравлической системе фазовая переменная типа потока расхода – Q, м³/с, а типа потенциала давление - р, Па.

Физическое свойство простого элемента описывается моделью, выражающей зависимость между этими фазовыми переменными и называется компонентным уравнением. Компонентные уравнения гидравлической системы для инерционных, диссипативных и упругих элементов отражены в таблице 1.

Таблица 1

Компонентные уравнения гидравлической системы

Элемент	Уравнение	Условное изображение
Инерционный элемент
Диссипативный элемент
Упругий элемент

В таблице 1 приняты обозначения:

m_г - коэффициент массы, кг/м⁴;

- коэффициент линейных потерь, Н·с/м⁵;

- коэффициент нелинейных потерь, Н·с/м⁵;

с_г - коэффициент гидравлической жесткости, Н/м⁵.

Коэффициенты m_Г, _Г, с_Г являются параметрами соответственно упругих, диссипативных и инерционных элементов гидравлической системы. Каждый из элементов на динамической модели имеет свое условное обозначение (таблица 1).

Для получения полной модели системы все компонентные уравнения простых элементов объединяются в общую систему с помощью физических законов, выражающих условия равновесия и непрерывности фазовых переменных. Уравнения этих законов называют топологическими. Топологические уравнения для гидравлической системы имеют вид:

1. Условие равновесия потенциалов, действующих на сосредоточенные массы:

, (1)

где i – количество фазовых переменных типа потенциала (давление).

2. Условие непрерывности потоков жидкости:

, (2)

где k - количество фазовых переменных типа потока (расход).

Графические изображения элементов динамической модели отождествляются с их компонентными уравнениями, а соединения элементов соответствуют топологическим уравнениям.

На основании исходной принципиальной схемы гидравлической системы строится динамическая модель. Участки магистралей представляют как последовательное соединение инерционного и диссипативного элемента, причем для инерционного элемента указывается направление движения рабочей жидкости.

В точки ветвления магистралей устанавливают упругие элементы, учитывающие сжимаемость жидкости и деформируемость стенок трубопровода. Данные элементы осуществляют дифференциальное соединение всех инерционных элементов и источника потока.

Внешние воздействия на гидравлическую систему создаются потребителями и насосами. Если насос в гидравлической системе установлен без переливного клапана, то его считают источником потока (расхода), в противном случае – его считают источником потенциала (давления). Их условное обозначение на динамической модели гидросистемы представлено в таблице 2.

Таблица 2

Условное обозначение внешних воздействий

на гидравлическую систему

Наименование		Наименование	Обозначение
Потребитель	PB	Насос без клапана	PH
Насос с клапаном		Переливной клапан (обозначение табл.3)

Структурирование динамической модели и идентификация элементов позволяют формализовать процесс составления модели технического объекта. Для этого удобно использовать графические формы моделей в виде ориентированного графа.

Узлы орграфа соответствуют сосредоточенным массам, а ветви - компонентам математической модели (инерционные, диссипативные, упругие элементы и внешние воздействия). Базовый узел (с нулевым номером) отображает инерциальную систему отсчета фазовых координат типа потока и является обязательным элементом в любом орграфе.

Ориентированный граф строится по следующему правилу.

В ветвях источников внешних воздействий сигналы направляют от базы к узлу, если энергия подводится к узлу и источник обеспечивает возрастание потоковой переменной узла, в противном случае – наоборот.

Во всех ветвях инерционных элементов направление сигналов от узла к базе. Такое направление характеризует затраты энергии источников на увеличение кинетической энергии инерционных элементов.

В ветвях диссипативных элементов (для рассматриваемых в работе схем гидравлической системы) направление аналогично инерционным элементам от узлов к базе.

В ветвях упругих компонентов стрелки указывают направление передачи энергии от источников к потребителям.

В ветвях всех элементов кроме направления записывается параметр каждого элемента (m_г для инерционного, μ_Г для диссипативного и с_г для упругого элементов), а в ветвях источников внешних воздействий – фазовая переменная (давление р или расход Q).

Построение динамической модели и на ее основе ориентированного графа рассмотрено в примере выполнения задания.