13.Получение случайных чисел, подчиняющихся экспоненциальному закону

Экспоненциальное распределение. Непрерывная случайная функция, распределенная по экспоненциальному закону, имеет функцию распределения F(x) и плотность распределения f(x) вида:

(2.3)

(2.4)

Значения математического ожидания и дисперсии для экспоненциального закона распределения равны соответственно 1/λ и 1/λ^2.

Для моделирования случайных величин xi ,имеющих экспоненциальное распределение, можно воспользоваться непосредственным решением уравнения . Действительно, с учетом (2.4) получаем:

(2.5)

После интегрирования имеем:

(2.6)

Поскольку случайная величина (1-i) имеет также равномерное распределение в интервале (0,1) окончательно получаем:

xi = -(1 / ) ln  i = -  ln  i (2.7)

где альтернативной параметризацией является параметр масштаба θ=1/λ).

Алгоритм формирования значений случайной величины, распределенной по экспоненциальному закону:

1.Вводятся исходные значения: количество генерируемых величин N (не менее 100) и математическое ожидание экспоненциального закона распределения (THETA);

2.Обнуляется переменная К для подсчета количества генерируемых случайных величин;

3.Генератор псевдослучайных чисел формирует число;

4.Вычисляется случайная величина по формуле 2.7;

5.Значение величины выводится на печать;

6.Значение счётчика случайных величин увеличивается на единицу;

7.Процедура формирования случайных величин повторяется до тех пор, пока не будет получено заданное количество.

14. Особенности аналитического моделирования систем и процессов. Примеры.

Аналит-е моделирование - процессы функц-ия элем-в записываются в виде мат-х соотношений (алгебр-х, интегральных, диффер-х, логич-х и т.д.). Мат. модель может вообще не содержать в явном виде искомых величин. Ее необходимо преобразовать в систему соотношений относ-но искомых величин, допускающую получение нужного результата чисто анал-ми методами. Под этим понимается получения явных формул вида

<искомая величина> =<аналитическое выражение>, либо получение урав-й известного вида, решение которых также известно. В некоторых случаях возможно качественное исследование модели, при котором в явном виде можно найти лишь некоторые свойства решения.

Имеется система, состоящая из трех блоков.

Система функционирует нормально, если исправен хотя бы один из блоков 1 и 2, а также исправен блок 3. Известны функции распределения времени безотказной работы блоков f1(t),f2(t),f3(t). Требуется найти вероятность безотказной работы системы в момент времени t.

Эквивалентная логическая схема

означает, что отказ системы наступает при обрыве цепи. Это имеет место в следующих случаях:

отказали блоки 1 и 2, исправен блок 3;

отказал блок 3, исправен хотя бы один из блоков 1 и 2.

Вероятность безотказной работы системы P(t)=P1,2(t)*p3(t)=(1-q1(t)*q2(t))*(1-q3(t)) =

Эта формула и есть основа математической модели системы.

Аналитическое моделирование. Оно возможно лишь при условии, что все интегралы выражаются через элементарные функции. Допустим, что

.

Тогда ==.

С учетом этого модель (1) принимает вид

.

Это и есть явное аналитическое выражение относительно искомой вероятности; оно справедливо лишь при сделанных допущениях.

Аналитические методы применяются для простых систем и элементов с использованием упрощающих предположений. При использовании аналитических моделей любые изменения, вносимые в систему, приводят к существенной переработке описывающих аналитических выражений

На практике, вследствие случайности явлений, проходящих в электрических системах (шумы, отказы, внешние воздействия), сложности систем и нелинейности элементов, получить аналитическую модель невозможно, поэтому прибегают к имитационному моделированию.