23.Основы моделирования систем массового обслуживания. Поток событий. Свойства потоков событий.

СМО считается заданной, если определены:

1) закон распределения, характеризующий моменты времени поступления требований в систему.

2) система обслуживания, состоящая из накопителя и узла обслуживания.

3) время обслуживания требования каждым прибором, которое является случайной величиной и характеризуется некоторым законом распределения;

4) дисциплина ожидания, т. е. совокупность правил, регламентирую-

щих количество требований, находящихся в один и тот же момент времени в

системе.

5) дисциплина обслуживания, т. е. совокупность правил, в соответст-

вии с которыми требование выбирается из очереди для обслуживания.

6) дисциплина очереди, т.е. совокупность правил, в соответствии с ко-

торыми требование отдает предпочтение той или иной очереди (если их не-

сколько) и располагается в выбранной очереди.

Поток событий – последовательность однотипных ситуаций, наступающих одна за другой в случайные моменты времени (пример, поток отказов и поток восстановлений, поток вызовов на телефонной станции, поток покупателей в магазине).

Поток событий можно наглядно изобразить рядом точек на оси времени

Рис.2. Изображение потока событий на оси времени

Характеристики потоков событий:

6. Интенсивность потока событий () – это среднее число событий, приходящееся на единицу времени.

7. Регулярность, поток называют регулярным если события следуют одно за другим через равные промежутки времени

8. стационарность, поток называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени.

9. Отсутствие последствия, поток называется потоком без последствия, если для любых двух непересекающихся отрезков ичисло событий, попадающих на один из отрезков, не зависит от числа событий, попадающих на др.

10. Ординарность, поток событий называется ординарным, если события в нем появляются поодиночке, а не группами по нескольку сразу.

Поток событий наз-ся простейшим (или стационарным пуассоновским), если он обладает сразу 3-мя следующими свойствами: стационарность, ординарность, отсутствие последствия.

Простой поток – обязательное понятие для аналитического моделирования.

Δt – интервал между соседними событиями при простом потоке имеет экспоненциальное распределение.

f (Δt)=λe, Δt>0

Простой поток - нерегулярен!

Число событий N за Δt подчиняется закону Пуассона:

PN=K = (λ*Δt)/K! * e

Вероятность непоявления ни одного события (K=0):

PN=e

Противоположное событие:

PN ≥ 1=1-e

24. Уравнения Колмогорова для одноканальной системы массового обслуживания с отказами.

Допущения: все каналы однотипны, поток обслуживания простейший с инт-ю µ, поток заявок прост. с инт-ю λ.

Условие нормировки Pi = 1

So: μP1- λP0 = 0

↕

P1 = λ/μ*P0

S1: 2μP2 + λP0 – (λ+μ)P1=0 ↔ P2

S2: 3μP3 + λP1 – (λ+2μ)P2=0 ↔ P3

…

Sk-1: Kμ+ λPk-2 – (λ+(k-1)*μ)Pk-1=0 ↔ Pk=

Это система уравнений Колмогорова.

α = λ/μ – приведенная интенсивность потока заявок.

P0+α+ ++…+= 1

P0 = Формулы Эрланга

PK =

Pотк = Pn =

Pобсл = Q = 1 – Pотк

А = λ*Q

N3 = P1 + 2P2+…+nPn

K3 =