33. Характеристики входящего и выходящего потока смо.

Входящий поток. Для задания входящего потока требований необходимо описать моменты времени их поступления в систему (закон поступления) и количество требований, которое поступило одновременно. Закон поступления может быть детерминированный (например, одно требование поступает каждые 5 мин) или вероятностный (требования могут появляться с равной вероятностью в интервале 5±2 мин). В общем случае входящий поток требований описывается распределением вероятностей интервалов времени между соседними требованиями. Часто предполагают, что эти интервалы времени независимые и имеют одинаковое распределение случайных величин, которые образуют стационарный входящий поток требований. Классическая теория массового обслуживания рассматривает так называемый пуассоновский (простейший) поток требований. Для этого потока число требований k для любого интервала времени распределено по закону Пуассона.

k>=0 (4.1) где λ – интенсивность потока требований (число требований за единицу времени).

На практике обоснованием того, что входящий поток требований имеет распределение Пуассона, является то, что требования поступают от большого числа независимых источников за определенный интервал времени. Для того, чтобы при моделировании задать пуассоновский поток требований в систему, достаточно задать экспоненциальное распределение интервалов времени поступления для соседних требований.

Выходящий поток. Это поток требований, кот. покидают систему, причем требования в нем м/б как обслуженные, так и необслуж. Стр-ра выходящего потока может иметь большее значение для многофазных систем, где этот поток становится входящим для следующей фазы обслуживания. Распределение требований в выходящем потоке во времени зав. от плотности входящего потока и хар-к работы устройств обслуж-я. Из теории МО известно, что выходящий поток из СМО с m устр-вами с ожиданием при простейшем входящем потоке с параметром λ и экспоненциальном распред-и времени обслуж-я с пар-ром µ есть простейший поток с параметром

λ = min{λ,mµ}.

Такое замечание дает возможность построить теорию сложных СМО, где поток, выходящий из одних систем обслуживания, есть поток, входящий в другие системы. Это так называемые многофазные системы и сети СМО. Во всех других случаях распределение выходящих потоков из СМО имеет более сложную вероятностную природу и может изучаться только наблюдениями за функционированием этих СМО с помощью моделирования.

34. Планирование машинных экспериментов с моделями систем. Основные понятия.

Эффективность машинных экспериментов с ими­тационными моделями систем массового обслуживания, существенно зависит от выбора плана эксперимента, так как именно план определяет объем и по­рядок проведения вычислений на ПЭВМ, приемы накопления и статистической обработки результатов моделирования системы и в целом влияет на эффективность использования ресурсов компь­ютера при моделировании.

Математические методы планирования экспериментов осно­ваны на кибернетическом представлении процесса проведения эксперимента, наиболее подходящей моделью которого является абстрактная схема типа «черного ящика» вида Y= (X), где Y=(y₁, y₂, …, y_k) — множество векторов зависимых выходных пе­ременных, называемых реакциями (для машинного эксперимента эти переменные являются эндогенными); X=(x₁, x₂, …, x_m)— множество векторов входных независимых переменных, на­зываемых факторами (для машинного эксперимента они являют­ся экзогенными).

Функция , связывающая реакцию с факторами, называется функцией реакции.

При проведении машинного эксперимента с моделью для оценки характеристик процесса функционирования исследуемой системы необходимо создать такие условия, которые способство­вали бы выявлению влияния факторов, находящихся в функцио­нальной связи с искомой характеристикой. Для этого необходимо: отобрать факторы х_i, , влияющие на искомую характери­стику, и описать функциональную зависимость; установить диа­пазон изменения факторовx_imin...x_imax; определить координаты то­чек факторного пространства {x₁, x₂, …, x_m},в котором следует проводить эксперимент; оценить необходимое число реализаций и их порядок в эксперименте.

Свойства объекта исследования, т. е, процесса машинного мо­делирования СМО, можно описывать с помощью различных методов (моделей планирования).

Получение модели, описывающей реакции изучаемой системы на многофакторное возмущение, — одна из задач математического планирования эксперимента. Наиболее распространенными и полно отвечающими задачам статистического моделиро­вания являются полиномиальные модели. Задача нахождения по­линомиальной модели, описывающей систему или отдельные ее характеристики, состоит в оценке вида и пар-ров некоторой ф-и (x₁, x₂, …, x_m).

Рассмотрим влияние m количественных факторов х_i, на некоторую реакцию в отведенной для экспериментирования ло­кальной области [x_imin...x_imax, ] факторного пространстваG. Функцию реакции ( x₁, x₂, …, x_m) представим в виде полинома сте­пени d от m переменных, который содержит коэффициен­тов:

Для оценки коэффициентов данного уравнения используем методы линейной регрессии.

После выбора модели планирования следующей задачей явля­ется планирование и проведение эксперимента для оценки число­вых значений коэффициентов используемого уравнения. Так как полином содержит коэффициентов, подлежащих определе­нию, то план экспериментаD должен содержать по крайней мере различных экспериментальных точек

, где х_iu – значения, которые принимает i-я переменная в u-м испытании, ,.

Реализовав испытания в N точках области факторного про­странства, отведенной для экспериментирования, получим вектор наблюдений, имеющий следующий вид:

где у_u — реакция, соответствующая u-й точке плана,

.

Выписав аналогичные соотношения для всех точек плана , получим матрицу планирования

.

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочета­ния уровней факторов, называется полным факторным эксперимен­том (ПФЭ). Если выбранная модель планирования включает только линейные члены полинома и их произведения, то для оцен­ки коэффициентов модели используется план эксперимента с варьированием всех k фактров на двух уровнях, т. е. q = 2. Такие планы называются планами типа 2^k , где N = 2^k — число всех воз­можных испытаний.

Начальный этап планирования эксперимента для получения коэффициентов линейной модели основан на варьировании фак­торов на двух уровнях: нижнем х_iН и верхнем х_iВ, симметрично рас­положенных относительно основного уровня х_i0, .

Выписывая комбинации уровней факторов для каждой экспе­риментальной точки, получим план D ПФЭ типа 2^k.

Для оценки свободного члена b₀ и определения эффектов взаи­модействия b₁₂, b₂₃, ...,b₁₂₃ план эксперимента D расширяют до матрицы планирования X путем добавления соответствующей «фиктивной переменной»: единичного столбца x₀ и столбцов про­изведений . Но при этом количество испы­таний в ПФЭ значительно превосходит число определяемых коэф­фициентов линейной модели плана эксперимента, т.е. ПФЭ обла­дает большой избыточностью и поэтому возникает проблема со­кращения их количества. В связи с этим эффективно применениедробных факторных экспериментов (ДФЭ). Правило проведения ДФЭ следующее: для сокращения числа испытаний новому фактору присваивается значение вектор-столбца матрицы, принадлежащего взаимод-ю, которым м-о пренебречь. Исп-е ДФЭ позволяет в два и более раз уменьшить число испытаний, что значительно сокращает затраты рес-сов ПЭВМ на провед. ма­шинных экспер-тов с моделями систем, а также позвол. со­хранить все основные св-ва ПФЭ (ортогональность, симметр-ть, условие нормировки).