29. Потоки событий. Простейший (пуассоновский) поток.

Потоком событий (ПС) наз. послед-ть однор. событий, след. одно за другим в случ. моменты времени.

Примеры: поток вызовов на телеф. станции; поток включений приборов в бытовой электросети; поток грузовых составов, поступ. на железнодор. станцию; поток неисправностей (сбоев) вычислит. машины; поток выстрелов, направляемых на цель, и т. д.

Рассмотрим ПС, облад. всеми тремя св-вами: стационарный, без последействия, ординарный. Такой поток наз. простейшим (ПП) (или стационарным пуассоновским) потоком. Название «простейший» связ. с тем, что мат. опис. событий, связ-ых с простейш. потоками, оказ-ся наиб. простым. Отметим, м/у прочим, что «самый простой», на первый взгляд, регулярный поток (РП) со строго пост-ыми инт-лами м/у событиями отнюдь не явл. «простейшим» в вышеназванном смысле слова: он облад. ярко выраж. последействием, т. к. моменты появления событий связ. м/у собой жесткой функциональной завис-тью. Именно из-за этого последействия анализ процессов, связ. с РП, оказ-ся, как правило, труднее, а не легче по сравн. с простейшими.

ПП играет среди других потоков особую роль — м-о док-ть, что при суперпозиции (взаимном наложении) достат. большого числа потоков, облад. последействием (лишь бы они были стац-ны и ординарны), образ-ся суммарный поток, кот. м-о счит. простейшим, и тем точнее, чем большее число потоков суммируется. Доп-но треб-ся, чтобы складываемые потоки были сравнимы по интенс-ти, т. е., чтобы среди них не было, скажем, одного, превосход. по интенс-ти сумму всех ост-х.

Если поток событий не имеет последействия, ординарен, но не стационарен, он наз. нестац-ым пуассоновским потоком. В таком потоке интенс-ть (ср. число событий в един. времени) зав. от времени:, тогда как для ПП: .

Пуассоновский ПС (как стац-ый, так и нестац-ый) тесно связ. с известным распред-ем Пуассона — число событий потока, попад. на любой уч-к, распределено по з-ну Пуассона.

Рис.1 Поток событий

Поясним, что это означает. Рассмотрим на оси t, где наблюд-ся ПС, некот. уч-к времени длины (рис.1), начин-ся в моменти заканч-ся в момент. Нетрудно док-ть (док-во дается во всех курсах теории вероятностей), что вероятность попадания на этот уч-к ровно событий и выраж-ся ф-лой: (1), где а — ср. число событий, приход-ся на уч-к ; е — основание натур. логарифмов.

Для стац-го (простейшего) пуассоновского потока велич. а равна интенс-ти потока, умнож. на длину инт.: ,т. е. не зав. от того, где на оси t нах-ся период . Для нестац-го пуассоновского потока велич. а зав. от того, в какой точке начинается уч-к t.

Рис. 2 Простейший поток

Рассмотрим на оси t ПП событий с интенс-тью (рис. 2). Нас будет интересовать случ. инт. времени Т м/у соседними событиями в этом потоке; найдем его з-н распред-я. Снач. найдем ф-ю распред-я:

т. е. вер-ть того, что велич. Т будет иметь знач., меньшее, чем t. Отложим от начала инт. Т (точки ) отрезок t и найдем вер-ть того, что инт. Т будет < t. Для этого нужно, чтобы на уч-к длины t, примык. к точкепопало хотя бы одно событие потока. Вычислим вер-ть этого F(t) через вер-ть противоп-го события (на уч-к t не попадет ни одного события потока):

Вер-ть найдем по ф-ле (1), полагая m = 0:

откуда ф-я распред-я велич. Т будет: (2)

Чтобы найти плотность распред-я случ. велич. Т, необх. продиффер-ть выраж. (2) по t:(3)

З-н распред-я с плотностью (3) наз. показательным (или экспоненц.). Велич. наз. пар-ром показат-го з-на.

Показат. з-н распред-я играет большую роль в теории марковских случ. процессов.

Найдем числовые хар-ки случ. велич. Т — мат. ожид. (ср. знач.) и дисперсию.

Имеем (интегрируя по частям):

(4) Дисперсия велич. T составляет:

Извлекая корень квадратный из дисперсии, найдем ср. квадратич. отклон. случ. велич. Т.

Итак, для показат-го распред-я мат. ожид. и ср. квадратич. отклон. равны друг другу и обратны пар-ру , где— интенс-ть потока.

Приведем выраж. для так назыв. «элемента вер-ти появления события» или вер-ти наступл-я на элементарном уч-ке (рис 1) события потока.

Найдем вер-ть того, что на уч-ке появится какое-то событие потока, т. е. уч-к не будет «пуст». Т. к. поток ординарен, вер-тью появления на уч-ке более чем одного события можно пренебречь. Обозначимвер-ть того, что на уч-ке не будет события, а— вер-ть того, что на нем появится одно событие. В силу ордин-ти потока

а вер-ть опред-ся по (1):

откуда Разлагаяв ряд и пренебрегая величинами высшего порядка малости, получаем: (7)

Эта вер-ть и наз. «элементом вер-ти появления события».

Очевидно, такая же ф-ла будет справедлива и для нестац-го пуассоновского потока с той разницей, что велич. нужно брать равной ее знач. в той точке t, к кот. примык. уч-к