21. Моделирование случайных воздействий.

Важной задачей в практике имитационного моделирования систем на ЭВМ является расчёт случайных величин. В языках программирования существуют датчики равномерно распределённых псевдослучайных величин в интервале {0,1}. Остановимся на вопросах преобразования последовательности псевдослучайных величин {X_i} в последовательности {Y_i} с заданным законом распределения и моделировании различных случайных событий.

Рассмотрим особенности моделирования случайных событий.

Пусть имеются случайные числа x_i, т.е. возможные значения случайной величины , равномерно распределённой в интервале {0,1}. Необходимо реализовать случайное событие А, наступающее с заданной вероятностью Р. Определим А как событие, состоящее в том, что выбранное значение x_i удовлетворяет неравенству: x_i­Р (1)

Тогда вероятность события А будет : . Противоположное событию А состоит в том, чтоx_i­>р. Тогда . Процедура моделирования состоит в этом случае в выборе значенийx_i и сравнение их с р. При этом, если условие (1) удовлетворяется, то исходом испытания будет событие А.

Таким же образом можно рассмотреть группу событий. Пусть А₁, А₂…А_n – полная группа событий, наступающая с вероятностями Р₁, Р₂, … Р_n соответственно. Определим А_m как событие, состоящее, в ом, что выбранное значение x_i случайной величины  удовлетворяет неравенству:

l_m-1­<x_i<l_m, где (2)

Тогда . Процедура моделирования испытаний в этом случае состоит в последовательности сравнений случайных чиселx_i со значениями l_k. Исходом испытания оказывается событие A_m, если выполняется условие (2). Эту процедуру называют определением исхода по жребию в соответствии с вероятностями Р₁, Р₂, … Р_n.

При моделировании систем часто необходимо осуществить такие испытания, при которых искомый результат является сложным событием, зависящим от 2-х и более простых.

Пусть например, независимые события А и В имеют вероятности наступления Р_А и Р_В. Возможными исходами совместных испытаний в этом случае будут события с вероятностями Р_АР_В, (1-Р_А)Р_В, Р_А(1-Р_В), (1-Р_А)(1-Р_В). Для моделирования совместных испытаний можно использовать последовательную проверку условия (1). Он требует двух чисел x_i.

Рассмотрим случай, когда события А и В являются зависимыми и наступают с вероятностями Р_А и Р_В. Обозначим через Р(В/А) условную вероятность события В при условии, что событие А произошло. Считаем, что Р(В/А) задана. Из последовательности случайных чисел {X_i­} извлекается определённое число x_m и проверяется справедливость неравенства x_m<P_A. Если это неравенство справедливо, то наступило событие А. Для испытания, связанного с событием В используется вероятность Р(В/А). Из совокупности чисел {X_i­} берётся очередное число x_m+1 и проверяется условие x_m+1 Р(В/А). В зависимости от того выполняется или нет это неравенство, исходом испытания является АВ или . Если неравенствоx_m<P_A не выполняется, то наступило событие . Поэтому для испытания, связанного с событием В необходимо определить вероятность:

Выберем из совокупности {X_i­} число x_m+1 и проверим справедливость неравенства . В зависимости от того, выполняется оно или нет, получаем исходы испытания. Алгоритм вычислений можно представить в виде схемы, которая изображена на рисунке 7.1.

Рис.7.1. Схема моделирования группы случайных событий

Преобразование случайных величин.

Дискретная случайная величина  принимает значения y1 y2 y3… yl с вероятностями P1, P2…, Pl составляющими дифференциальное распределение вероятностей:

y y1 y2…… yj…

P(=y) P₁, P₂……P_j… (3)

При этом интегральная функция распределения y_my_m+1; m=1,2,...

F_(y)=0, y<y₁. (4)

Для получения дискретных случайных величин можно использовать метод обратной функции. Если  - равномерно распределённая на интервале (0, 1), случайная величина  получается с помощью преобразования

=F_^-1(), где F_^-1 - функция, обратная F_. (5)

Алгоритм вычисления по (4) и (5) сводится к выполнению следующих действий:

если х₁<Р₁ то =y₁ иначе,

если х₂<Р₁+Р₂ то =y₂ иначе,

(6)

если х_j<то=y_m иначе

При счёте по (6) среднее число циклов сравнения равняется

Пример 1. Необходимо методом обратной функции на основании базовой последовательности случайных чисел {x_i}, равномерно распределённых в интервале (0,1), получить последовательность чисел {y_i}, имеющих биноминальное распределение, задающее вероятность у удачных исходов в N реализациях некоторого эксперимента:

P(_i=y)=P_N(y)=C_N^yP^y(1-P)^N-y , где P=0.5 и N=6; C_N^y=N!/y!(N-y)!

Математическое ожидание и дисперсия биноминального распределения соответственно будут М[y]=np(1-P). Используя для Р_j обозначения, принятые в (6), вычислим:

j …	1	2	3	4	5	6	7
yj …	0	1	2	3	4	5	6
Pj …	0.01562	0.09375	0.23438	0.3125	0.23438	0.09375	0.01562
…	0.01562	0.10937	0.34375	0.65625	0.89063	0.98438	1.0000

Например, получив из равномерного распределения число Х­_i=0.89063 и проведя сравнения по алгоритму (6), найдём, что 0.85393<0.89063, т.е. y_i=4. При этом среднее число циклов сравнения =1*0.01562+2*0.09375+3*0.23438+4*0.31250+5*0.23438+6*(0.09375+0.01562)3.98.

Вычисление непрерывных случайных величин.

Непрерывная случайная величина  задана интегральной функцией распределения:

, где- плотность вероятностей.

Для получения непрерывных случайных величин с заданным законом распределения, как и для дискретных величин можно использовать метод обратной функции. Взаимно однозначная монотонная функция =F_^-1(), полученная решением относительно  управления F_(y)= преобразует равномерно распределённую на интервале (0,1) величину  в  с требуемой плотностью f­_(y).

Действительно, если случайная величина  имеет плотность распределения f­_(y), то распределение случайной величины является равномерным.

Т.о. чтобы получить число, принадлежащее последовательность случайных чисел {y}, имеющих функцию плотности f­_(y), необходимо разделить относительно y_i управление

(7)

Пример 2. Необходимо получить случайные числа y_i с показательным законом распределения.

f_(y)=e^-y, y>0.

В силу соотношения (7) получим , гдеx_i - случайное число, имеющее равномерное распределение в интервале (0,1), тогда

Рассмотрим универсальный метод моделирования непрерывных случайных величин (метод исключений).

При моделировании случайной величины y с плотностью распределения вероятностей f_(y) в интервале ayb независимые значения x_m и x_m+1 преобразуются в значения

y_1m=a+(b-a)*x_m (8)

z_1m+1=f_1(y)* x_m+1 (9)

где f_1(y)=max| f_(y)|. При этом y_1m и z_1m+1 - значения случайных величин, равномерно распределенных на интервале (a,b) и (0,f_1m). Эти значения можно рассматривать как абсциссы и ординаты случайных точек, равномерно распределяющихся внутри прямоугольника со сторонами b-a и f_1m, охватывающего кривую распределения f_(y) (см. рисунок 7.2.).

Рис. 7.2. Иллюстрация метода исключений

Если z_1m+1f_(y_m1), (10)

тогда пара y_1m, z_1m+1 определяет случайную точку под кривой f_. Вероятность попадания случайной точки, удовлетворяющей условию (10) под кривую f_ равна единице, а вероятность попадания в заштрихованную элементарную площадку равна f_(y_1m)*y_1m­. Это обозначает, что абсциссы y_1m случайных точек, попадающих под кривую f_ - значения случайной величины y с заданной плотностью вероятности f_(y). Моделируемый алгоритм состоит из функций : 1) получения x_m1 и x_m+1 от датчика; 2) расчёта y_1v и z_1m+1 согласно (8) и (9); 3) вычисления f_(y_1m); 4) сравнения z_1m+1 с f_(y_1m). Если условия (10) выполняются, то y=y_1m; если нет, то значения y_1m и z_1m+1 исключаются и процесс повторяется, начиная с пункта 1. При моделировании системы 2-х случайных величин (y₁y₂) с плотностью вероятности f(y₁,y2), a₁y₁b₁; a₂y2b₂, аналогично моделированию одной случайной величины, три значения: x_m, x_m+1, x_m+2, выданные датчиком Е, преобразуются в значения:

y_1m=a₁+(b₁-a₁)x_m (11)

y_2m=a₂+(b₂-a₂)x_m+1 (12)

z_3m=f_mx_m+2, где f_m=max[f(x₁,x₂)] (13)

Если z_3mf(y_1m,y_2m) (14)

то y₁=y_1m; y₂=y_2m.

В этом случае случайные точки с координатами y_1m, y_2m, z_3m - равномерно распределены в пределах параллепипеда со сторонами, равными (b₁-a₁)(b₂-a₂), f_m и условие (14) означает попадание точки под поверхность f_. Аналогично моделируется система n случайных величин (y₁,y₂,…,y_n).

Моделирование нормально распределённой случайной величины y.

Оно может быть осуществлено на основании центральной предельной теоремы, согласно которой закон распределения суммы независимых случайных величин стремится к нормальному с увеличением числа слагаемых. Для решения некоторых задач практически сумму значений, выданных с генератором случайных чисел с характеристикамиf(x_i)=1, 0x_i1, m_x=0.5, .

Можно считать значениями распределённой случайной величины приn8. Так как все слагаемые x_i имеют одинаковые математические ожидания m_x и дисперсии D_x, то m_y=nm_x, D_y=nD_x. В таблице 1 приведены формулы для расчёта случайных величин для различных видов распределений на базе случайной величины с равномерным распределением.

Получение случайной величины с различными распределениями.

Таблица 1.

Нужное распределение	Плотность распределения	Способ получения случайной величины
Экспоненциальное	f(y)=e-(y-), y
Гамма распределение (целочисленные значения )
Распределение 2		RN - нормированная случ. величина с нормальным законом распределения
Логарифмические норм. Распределение
Вейбулла

22. Алгоритмы получения псевдослучайных чисел.

При моделировании систем на ЭВМ программная имитация случайных воз­действий любой сложности сводится к генерированию некоторых стандартных (базовых) процессов и к их последующему функциональному преобразованию. Таким базовым процессом является последовательность чисел представляющих собой реализации независимых, равномерно распределенных на интервале (0,1) случайных величин. Но на ЭВМ невозможно получить идеальную последовательность случайных чисел потому, что на ней можно оперировать только с конечным множеством чисел. Кроме того, для полу­чения значенийx случайной величины  используются формулы ( алгоритмы ). Поэтому такие последовательности, являющиеся по своей сути детерминированны­ми, называются псевдослучайными.

Наибольшее применение в практике моделирования на ЭВМ для генерации последовательностей псевдослучайных чисел находят алгоритмы вида

(1)

представляющие собой рекуррентные соотношения первого порядка, для которых начальное число хо и постоянные параметры заданы.

Рассмотрим некоторые процедуры получения последовательностей равномер­но распределенных псевдослучайных чисел.

Метод серединных квадратов

Пусть имеется 2n-разрядное число, меньшее 1

Возведем его в квадрат

а затем отберем средние 2n разрядов, которые и будут являться очередным чис­лом псевдослучайной последовательности

Этому методу соответствует рекуррентное соотношение

(2)

где D [ ] и Ц [ ] означают соответственно дробную и целую часть числа в квадратных скобках.

Недостаток метода - наличие корреляции между числами последовательности, а в ряде случаев случайность вообще может отсутствовать. Кроме того, при не­которых i* может наблюдаться вырождение последовательности, т.е. x_i = 0 при i  i*.

Метод середины произведения

Метод является модификацией метода серединных квадратов и состоит в том, что два 2n-значных числа перемножаются и средние 2n цифр этого произведения принимаются в качестве следующего числа последовательности. Таким образом, если

то для получения числа х_i+1 необходимо перемножить х_i-1 и х_i

а затем отобрать средние 2n цифр этого произведения

Данному методу соответствует рекуррентное соотношение

(3)

при заданных двух начальных числах х₀ и x₁.

Несмотря на то, что данный метод также имеет тенденцию к вырождению, но обеспечивает лучшее качество псевдослучайных чисел, чем у чисел, получен­ных с помощью метода серединных квадратов.

Мультипликативный метод

Широкое применение для получения последовательностей псевдослучайных равномерно распределенных чисел получили конгруэнтные процедуры генерации, которые могут быть реализованы мультипликативным либо смешанным методом. Конгруэнтные процедуры являются чисто детерминированными, т.к. описываются в виде рекуррентного соотношения, когда функция (1) имеет вид

где X_i, ,, М – неотрицательные целые числа. Раскрывая (2) получим

(5)

Если задано начальное значение Х₀, множитель  и аддитивная константа , то (5) однозначно определяет последовательность целых чисел {X_i}, составленную из остатков от деления на М, членов последовательности

Таким образом, для любого i  1 справедливо неравенство X_i<М. По целым числам последовательности {X_i} можно построить последовательность {х_i}={X_i/М) рациональных чисел из единичного интервала (0,1 ).

Мультипликативный метод задает последовательность неотрицательных це­лых чисел {X_i}, не превосходящих М, по формуле

(6)

т.е. это частный случаи ( 4 ) при  = 0.

Для машинной реализации наиболее удобна версия М = р^g, где р - число цифр в системе счисления, принятой в ЭВМ, а g - число бит в машинном слове.

Алгоритм построения последовательности для двоичной машины М = р^g сво­дится к выполнению следующих операций:

1) выбрать в качестве Х₀ произвольное нечетное число;

2) вычислить коэффициент , где - любое целое положительное число;

3) найти произведение  Х₀, содержащее не более 2g значащих разрядов;

4) взять g младших разрядов в качестве первого числа последовательности X₁, а остальные отбросить;

5) определить дробь из интервала (0, 1 );

6) присвоить Х₀ = X₁;

7) вернуться к пункту 3

В настоящее время библиотеки стандартных программ ЭВМ для вычисления последовательностей равномерно распределенных случайных чисел основаны на конгруэнтных процедурах. Последовательность, полученная по мультипликативному методу, хорошо удовлетворяет статистическим критериям проверки качества.