Планы Кифера

Эксперименты по плану Кифера проводятся в вершинах куба, серединах рёбер и центрах граней. Для двухфакторных экспериментов по плану Кифера приняты следующие удельные веса. 1. Вершины куба - =0.1458. 2. Середины рёбер -=0.08015. 3. Центры граней -=0.0962.

Расположение точек плана для двухфакторных экспериментов представлено на рис.15.4; для трёхфакторных на рис.

Геометрическая интерпретация двухфакторного эксперимента Геометрическая интерпретация трёхфакторного

по плану Кифера на квадрате эксперимента по плану Кифера

Количество точек в D – оптимальных планах приведено в таблице

к=2	к=3
=4 =4 =1	=8 =12 =6
9	26

В таблице 15.6 приведём план Коно для двухфакторного эксперимента; в таблице 15.7 – план Кифера, которые позволяют построить математическую зависимость вида:

.

Таблица 15.6

I	X0	X1	X2	X1X2	X21	X22	E1
1	1	-1	1	-1	1	1	0,148
2	1	0	1	0	0	1	0,078
3	1	1	1	1	1	1	0,148
4	1	-1	0	0	1	0	0,078
5	1	0	0	0	0	0	0,096
6	1	1	0	1	1	0	0,078
7	1	-1	-1	1	1	1	0,148
8	1	0	-1	-1	0	1	0,078
9	1	1	-1	-1	1	1	0,148

Таблица 15.7

I	X0	X1	X2	X1X2	X21	X22	E1
1	1	-1	1	-1	1	1	0,14580
2	1	0	1	0	0	1	0,08015
3	1	1	1	1	1	1	0,14580
4	1	-1	0	0	1	0	0,08015
5	1	0	0	0	0	0	0,09620
6	1	1	0	1	1	0	0,08015
7	1	-1	-1	1	1	1	0,14580
8	1	0	-1	-1	0	1	0,08015
9	1	1	-1	-1	1	1	0,14580

Отметим что для того, чтобы не потерять корректность D – оптимальных планов, чтобы количество реализаций в каждом варианте было целым числом, общее количество проводимых экспериментов для планов Коно требуется брать точно кратным 1000 а для планов Кифера – кратным 10000.

12. Тактическое планирование имитационных эксперементов.

Центральная предельная теорема утверждает, что сумма достаточно большого количества случайных чисел, выработанных при достаточно общих условиях, подчинена нормальному закону вне зависимости от того какому закону подчинены сами случайные числа При этом соблюдается следующее соотношение математического ожидания и среднего квадратического отклонения между введенным и исходным распределением:, а. Поэтому для оценок математических ожиданий, вычисляемых на основе суммирования случайных чисел, можно построить доверительный интервал по нормальному закону, так как это показано на рис.15.6.

Доверительный интервал для оценок математических ожиданий, построенный на основании их подчинения нормальному закону

При выводе формулы для вычисления количества реализаций в эксперименте проведена замена вероятности попадания нормально распределённой случайной величины от минус бесконечности до левой границы доверительного интервала, ввиду симметричности нормального закона, на вероятность попадания от правой границы доверительного интервала до плюс бесконечности, то есть на величину .

Вероятность попадания случайной величины в доверительный интервал вычисляется при следующих преобразованиях:

Для использования формулы требуется задаться доверительной вероятностью β. Рекомендуемое значение: β=0,95. По статистическим таблицам находим . Задаёмся половиной ширины доверительного интервалаПринимаем

Если условия центральной предельной теоремы теории вероятностей не выполняются, например, если сравнительно невелико количество случайных чисел, или они выработаны при недостаточно общих условиях, например, от весьма различающихся законов или параметров других законов, то применяют неравенство Чебышева:

. Вероятность β в (15.13) показывает, что разность случайной величины Х и ее математического ожидания по абсолютной величине меньше, или равно сколь угодно малому положительному числу ε, не меньше, чем величина .

Возьмем вместо переменной Х оценку математического ожидания , тогда неравенство (15.13) запишется в виде:

.Преобразуя получим формулу для вычисления количества реализаций случайной величины для получения результатов с заданной достоверностью.. Если по результатам моделирования с заданной достоверностью требуется оценить вероятность какого-либо события, то считают, что с вероятностью р событие наступает и равно 1, и с вероятностью (1-р) событие, равное 0, не наступает, тогда

Тогда по центральной предельной теореме:

по неравенству Чебышева:

Полученные формулы позволяют вычислять требуемое количество реализаций случайного процесса в моделируемых вариантах систем при тактическом планировании.

С математикой

2. Метод моментов. Равномерный закон.

Функция плотности равномерного закона:

Вычислим первый и второй начальные моменты:

Вычислим стандартное отклонение и параметры равномерного закона:

Вычислим вероятность попадания случайной величины в интервалы гистограммы и гипотетическую ФР:

Следует учитывать, что при построении гистограммы принимается: ;.

2. Метод моментов. Нормальный закон.

Нормальный закон является наиболее употребительным. Он применяется для представления самых различных случайных процессов, таких как продолжительность жизни людей, изменения экономических и технических показателей. Функция плотности нормального закона представляется следующей математической зависимостью:

Характерной особенностью нормального закона является то что в качестве его параметров в функцию плотности входят математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, поэтому для использования метода моментов достаточно в формулу подставить их оценки, вычисленные по экспериментальному распределению. Для оценки качества аппроксимации по критериям согласия Пирсона и Колмогорова требуется вычислить вероятность попадания случайной величины в интервалы гистограммы и гипотетическую ФР. Так как интеграл от функции плотности нормального закона аналитически «не берётся», то он определяется по таблицам, составленным для нормального закона с математическим ожиданием, равным нулю, и средним квадратическим отклонением, равным единице с преобразованием реального распределения по следующим формулам:

2. Метод моментов. Экспоненциальный закон.

В теории массового обслуживания центральное место занимает экспоненциальный закон, благодаря своим свойствам:

1. Ординарности, которая заключается в том, что если в ОМ действует несколько экспоненциальных законов, то в любой момент времени в такой системе не может произойти более одного события.

2. Стационарности (независимости от времени). Стационарный режим в простейшей системе наступает тогда, когда выполняется условие, что интенсивность поступления транзактов  не превышает интенсивности их обслуживания . В таких системах через некоторое время, которое называют переходным режимом, процесс изменения состояния системы перестает зависеть от времени и зависит только от технических характеристик ОМ и параметров внешней среды, в которой он функционирует. Условие наличия стационарного режима для простейшей СМО

3. Отсутствия последействия, которое заключается в том, что время, оставшееся до окончания экспоненциального процесса в любой момент его протекания распределено по экспоненциальному закону с той же интенсивностью, с которой распределено все распределение случайных чисел.

Эти три свойства позволяют строить Марковские цепи, являющиеся основой аналитического моделирования СМО.

Функция распределения (ФР) экспоненциального закона приведена на рис. Это вероятность того, что случайная величина Х не превысит своего текущего значениях. F(x)

F(x₁) F(x)P{Xx}

x1 х

Функция распределения экспоненциального закона

Функция плотности (ФП). Это плотность вероятности случайной величины, или дифференциальная функция распределения. ФП экспоненциального закона приведена на рисf(x)



f(x)=F^/(x)

x Функция плотности экспоненциального закона

Экспоненциальный закон имеет диапазон своего существования от 0 до . Функция плотности экспоненциального закона .

ФП экспоненциального закона определяется всего одним параметром . Для потоков событий это количество транзактов (заявок), поступающих за единицу времени. Для процессов обслуживания – это количество транзактов, которое может быть обслужено при их непрерывном поступлении в обслуживающий аппарат (ОА). Вычислим первый начальный момент по функции плотности:

Для вычисления интеграла проведём интегрирование по частям:

Пусть , тогда;

Рассмотрим этот же пример с пределами для определенного интеграла и вычислим основные статистические характеристики экспоненциального закона:Вычислим второй начальный момент:Вычислим среднее квадратическое отклонение

2. Метод моментов. Гиперэкспоненциальный закон.

Структурная схема гиперэкспоненциального распределения, состоящего из n ветвей, представлена на рис.

Функция плотности ГЭР: ₁ ₁

₂ ₂

_n _n

Структурная схема гиперэкспоненциального закона распределения случайных чисел

МПФ ГЭР:

, где n – количество параллельных ветвей; _i – вероятность выбора i-й ветви.

Достоинством--возможность создания аналитических моделей систем, а Недостаток по сравнению с представлением экспоненциальным законном: в сравнительно большом количестве параметров, которое требуется определить. То есть при количестве ветвей n, количество определяемых параметров 2n. Таким образом, требуется вычислить по МПФ не только 2n-1 производных, но и решить систему, состоящую из 2n уравнений. Первое уравнение записывается из условия, что сумма вероятностей выбора ветвей должна равняться 1. ₁ + ₂ + … + _n = 1.

Для упрощения аппроксимации на практике широко используется частный случай гиперэкспоненциального распределения, состоящего из двух ветвей, определяемого двумя параметрами, структурная схема которого представлена на рис.

 2 Структурная схема частного случая гиперэкспоненциального закона распределения случайных чисел,

при ₁= ; ₁=2; при ₂=1– ; ₂=2(1–).

для частного случая требуется вычислить только  и . Используем для этого МПФ. Определяем m₁.

л

1- 2(1-)

Подставим вместо m₁ его оценку m₁^*, вычисленную по экспериментальным данным:

Определим второй начальный момент:

ОткудаТаким образом, получили расчетные формулы для вычисления двух параметров частного случая гиперэкспоненциального закона. Покажем на рис.12.4 в графическом виде функции плотности распределений случайных чисел распределенных по гиперэкспоненциальным законам.

Использование гиперэкспоненциального закона расширяет возможности экспоненциального закона, распространяя область его применения выше линии экспоненциального закона так, как это показано на рис.12.5. Для построения графика использована следующая математическая зависимость:

.

Область существования гиперэкспоненциального закона распределения случайных чисел

При =0,6 и при m₁=1, σ=1.04. m₁=6, σ=6.25.

При =0,9 и при m₁=0.5, σ=1,07. m₁=2, σ=4.28.

Ввиду того, что  и  являются непрерывными количественными величинами, то область существования такого частного случая гиперэкспоненциального закона находится выше экспоненциального закона непрерывно, то есть любая точка 2-х мерного пространства m1, σ может быть представлена таким распределением. Для рассмотренного частного случая можно получить расчётные формулы по упрощенной процедуре. Представим формулу для вычисления математического ожидания гиперэкспоненциального закона −m₁ в виде суммы математических ожиданий его ветвей с учётом их вероятностей, проведём преобразование и заменим математическое ожидание его оценкой m₁^*, вычисленной по экспериментальным данным:

, .

Получили такую же формулу как

Представим формулу для вычисления второго начального момента гиперэкспоненциального закона –m₂ в виде суммы вторых начальных моментов его ветвей с учётом их вероятностей и проведём её преобразование:

Проведём преобразование и составим квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение, проведём преобразование решения и заменим моменты их оценками, вычисленными по экспериментальным данным, с учётом, что

2. Метод моментов. Специальный эрланговский закон.

Специальное эрланговское распределение состоит из к последовательно соединенных фаз, в каждой из которых распределение случайных величин подчиняется экспоненциальному закону с одинаковой интенсивностью к. Структурная схема специального эрланговского закона распределения представлена на рис.

к к к

….

Структурная схема специального эрланговского закона распределения случайных чисел

Ценность такого представления в том, что закон определяется всего двумя параметрами и следовательно по МПФ требуется вычислить только две производные и решить полученную систему уравнений. Запишем МПФ для СЭР:

.Выведем формулу для вычисления первого начального момента по первой производной от МПФ:

.Таким образом, получили формулу для вычисления общей интенсивности СЭР:

Выведем формулу для вычисления второго начального момента по второй производной от МПФ:

Запишем формулу для вычисления стандартного отклонения

.

Подставив вместо m₁ и  их оценки m₁^* и ^*, получим формулу для вычисления количества фаз СЭР.

Функция плотности СЭР представлена на рис. 12.7.

Для СЭР 1, т.к. к>0. Чем больше к, тем меньше отношение и тем более сжато специальное эрланоговское распределение. При к =16 таким распределением можно представить вырожденное распределение, у которого постоянное время задержки.

Область существования специального эрланговского закона представлена на рис.4.8, она расположена ниже экспоненциального закона. Например, при к=2 и m₁=5, σ=3,55.

При к=3 и m₁=10, σ=5,75. При к=16 и m₁=10, σ=23,5.

Параметры специального эрланговского закона можно вычислить и по упрощенной процедуре, так как математическое ожидание последовательности распределений случайных чисел равно сумме математических ожиданий составляющих эту последовательность, а среднее квадратическое отклонение последовательности сумме средних квадратических отклонений составляющих эту последовательность:

Преобразовав полученные математические выражения и подставив вместо моментов их оценки получим формулы для вычисления параметров специального эрланговского закона, такие же как

.

8. Табличный метод генерации случайных чисел. Достоинства и недостатки.

Табличный метод основан на том же принципе, что и аналитический, только вместо функции распределения в нём берется ее кусочно-линейное представление, то есть весь диапазон существования распределения случайных чисел разбивается на ряд интервалов, в которых дуги заменяются стягивающими их хордами. Применение метода представлено на рис. Интервал, в который попало случайное число, определяется по выполнению неравенстваa_i-1 r_j a_i. На основании подобия треугольников:.

Достоинства и недостатки. 1.этот метод реализуется сравнительно несложными программными процедурами.

2.Табличные методы начинают терять свои позиции и в частности из-за того, что для их применения требуется составление таблиц и выделение памяти для их хранения. В принципе повышение достоверности табличных методов можно достичь увеличением количества интервалов в таблице, но при этом увеличивается время поиска нужного интервала и требуемый объем памяти для хранения таблиц.

9. План ПФЭ (полного факторного эксперимента).

Планирование экспериментов зависит от вида математической зависимости, которую мы желаем получить по результатам обработки. Если вид математической зависимости заранее не известен, то рекомендуется использовать степенные полиномы, позволяющие при увеличении степени полинома получать результаты с заданной достоверностью. При представлении полинома в матричном виде вычисление его коэффициентов не вызывает затруднений. Расчётную формулу для вычисления коэффициентов полинома получим после сравнительно несложных преобразований.

Рассмотрим пример представления математической зависимости результативного показателя эффективности от двух факторов, факторы в которой записаны в кодированном виде:y = b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₁₂x₁x₂ Пусть первый фактор представляет собой среднее время обслуживания, а второй фактор среднее время между поступлением транзактов. В натурном виде они меняются в следующих диапазонах: Х₁ - меняется от 15 до 75 единиц времени; Х₂ - от 100 до 300 единиц времени.

Рекомендуется кодированное представление факторов, которое определяет изменение любого фактора от -1 до +1, невзирая на то, в каких единицах он измеряется, в натурном виде и какие диапазоны изменения он занимает. Перевод факторов из натурного в кодированный вид поясняется таблицей

Вграфическом виде план проведения эксперимента представляет собой вершины квадрата, как это изображено Вершины квадрата – план полного факторного эксперимента (ПФЭ). Обычно к этим точкам добавляется центральная точка и пять проводимых экспериментов позволяют вычислить четыре коэффициента двухфакторной математической зависимости: y = b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₁₂x₁x_{2 .}

	x0	x1	x2	x12
ЦТ	1	0	0	0
План ПФЭ	1 1 1 1	-1 1 -1 1	-1 -1 1 1	1 -1 -1 1

Этот же план можно представить в виде таблицы 15.2. Для обеспечения вычислений по одному и тому же алгоритму для всех коэффициентов к свободному члену полинома добавляется так называемый фиктивный фактор х₀, который всегда равен нулю.

План полного факторного эксперимента (ПФЭ) позволяет вычислить все коэффициенты степенного полинома, включая коэффициенты как при самих факторах, так и при всех сочетаний факторов между собой в виде их произведений. Достоинства плана ПФЭ.1. Симметричность. Каждая точка плана имеет симметричные себе точки относительно осей координат. В математическом плане симметричность сводится к тому, что построчная сумма элементов всех столбцов плана, кроме левого, равна нулю. 2. Нормированность, которая в математическом плане сводится к тому, что построчная сумма квадратов элементов всех столбцов плана, кроме левого, равна .3.Ортогональность, которая заключается в независимости всех факторов друг от друга. Кроме того следует отметить сравнительную простоту составления плана ПФЭ, который представляет собой полный перебор совокупностей всех факторов по двум уровням. Таким образом, количество точек плана ПФЭ N=. Отметим, что добавляемая к ним центральная точка не является точкой плана ПФЭ. Матрица планирования ПФЭ для двух факторов представляется в следующем виде(маленькая матр). А Для трёх факторов матрица планирования плана ПФЭ имеет больший вид: Планы ПФЭ имеет существенный недостаток, проявляющийся при сравнительно большом количестве факторов, так приK=3, N=8; при K=7, N=128, а при K=10, N=1024, что является неприемлемым. В некоторых случаях, если факторы независимы друг от друга, можно значительно уменьшить количество проводимых экспериметов, применяя план дробных факторных экспериментов (ДФЭ). В ДФЭ факторы разделяются на основные и дополнительные. Для основных факторов составляется план ПФЭ, а дополнительные меняются по законам изменения произведений основных факторов. Таким образом, например, если в эксперименте используется семь факторов, то по плану ПФЭ нам понадобилось бы провести 128 экспериментов. Если же они независимы друг от друга, то выделив из них три основных фактора и составив для них план ПФЭ мы сможем ограничиться всего 9 экспериментами с учётом центральной точки. Планы ДФЭ сохраняют все вышеназванные достоинства планов ПФЭ