Тест частот. Функция распределения равномерно распределенных случайных чисел в диапазоне от 0 до 1 представлена на рис.14.1, а функция плотности на рис.

Функция распределения Функция плотности

Функция плотности равномерного закона определяется зависимостью:

при 0 х 1. Для оценки равномерности по тестам частот весь диапазон существования распределения от 0 до 1 разбивают на L интервалов одинаковой длины и подсчитывают попадание случайной величины в каждый из них. Процедура оценки поясняется рис. Тест частот

Вычисляется критерий согласия², с количеством степеней свободы R.

По вычисленным значениям ² и R по статистическим таблицам находим коэффициент доверия гипотезе о равномерности по КС Пирсона, который должен попасть в 10% интервал 0,1Р_р0,9. В противном случае гипотеза отвергается.

Тест разрядов. Для равномерного закона вероятность появления любого символа в любом разряде числа одинакова. Для десятичных чисел она равна 0,1; для двоичных – 0,5. Для проведения тестирования подсчитывается количество каждых символов в каждом разряде числа, то есть их частоты. И аналогично предыдущему вычисляется критерий ² и количество степеней свободы R. А далее проверяем попадание коэффициента доверия гипотезе в 10%-ный доверительный интервал. При отрицательном результате гипотеза отвергается.

Тест оценки случайности.Два предыдущих случаев дадут отличный результат, если вместо генератора случайных чисел взять обычный счетчик и он будет являться идеально равномерным. Для того чтобы устранить случайность вычисляют коэффициент линейной автокорреляции, показывающий зависимость случайных чисел от ранее сгенерированных. Коэффициент автокорреляции вычисляется для последовательности случайных чисел берущихся с некоторым шагом между собой h. Например, на рис.999показан выбор пар чисел с шагом h=3.

Рис.999Выбор пар чисел для вычисления коэффициента линейной автокорреляции.

Приведем формулу для вычисления коэффициента линейной автокорреляции:

Коэффициент линейной автокорреляции меняется от -1 до +1.

Приведем формулу для вычисления критического значения коэффициента автокорреляции:

где n – количество пар случайных чисел;

t_крит – критическое значение критерия Стьюдента, взятое по статистическим таблицам для рекомендуемого уровня значимости =0,05 для количества степеней свободы n-2; r_крит – критическое значение коэффициента линейной автокорреляции и если вычисленное значение не меньше критического, то связь между переменными считается существенной. Если же вычисленное значение по абсолютной величине не меньше 0,8 , то такая автокорреляционная связь считается близкой к линейной. На рис.14.5 – рис.14.7 представлены три вида автокорреляционной зависимости между случайными числами.

Положительная автокорреляционная связь, Отрицательная корреляционная связь, Несущественная автокорреляционная

близкая к линейной близкая к линейной связь

Для моделирования требуется использовать генераторы случайных чисел, для которых коэффициент автокорреляции не превышает r_крит, а еще лучше не превышает 0,2 по абсолютной величине.

Тест периодичности. Тест периодичности заключается в вычислении длины периода и длины отрезка апериодичности. Период – это количество повторяющихся чисел, а отрезок апериодичности – это такая последовательность случайных чисел, в которой нет ни одной пары одинаковых чисел, но следующее число за отрезком апериодичности имеет в нем «свою» пару. Для корректного проведения имитационного моделирования и получения достоверных результатов требуется использовать случайные числа только на отрезке апериодичности, потому что любое повторение случайных чисел искажает получаемые результаты. Для вычисления длины периода используется следующий метод: генератор случайных чисел по интуиции выводится за пределы отрезка апериодичности, то есть на совокупность случайных чисел, в которой имеются периоды. Затем запоминается очередное случайное число, а каждое последующее число сравнивается с числом, которое запомнили. Количество случайных чисел до совпадения случайного числа с числом, которое запомнили, будет являться длиной периода. Для определения длины отрезка апериодичности берется два одинаковых генератора. После того, как первый из них выработает количество чисел равное длине периода, запускается второй генератор, и пары вырабатываемых ими чисел сравниваются между собой до тех пор, пока сравнение не даст положительный результат. После этого подсчитывается количество чисел, выработанных первым генератором. Это и есть длина отрезка апериодичности, и чем качественнее генератор, тем больше длина его отрезка апериодичности.

7. Планирование имитационных экспериментов. Концепция «черного ящика».

Планирование экспериментов. Цель планирования экспериментов – получение результатов с требуемой достоверностью при наименьших затратах. Планирование подразделяется на стратегическое и тактическое. Стратегическое планирование

Для стратегического планирования будем использовать концепцию «черного ящика», суть которого – абстрагирование от физической сущности процессов, происходящих в моделируемой системе и выдаче заключений о ее функционировании только на основании входных и выходных переменных. Входные, независимые переменные называются факторами. Выходные – откликами, их величина зависит от значений факторов и параметров ОИ. Структурная схема чёрного ящика представлена на рис

Факторы .Отклики

Х1Y1

Х2 Y2

Х_М . Y_К x_m

Структурная схема концепции чёрного ящика

При использовании концепции чёрного ящика должны выполняться следующие условия.

1. Рандомизация – случайность. Только при наличии случайности возможно корректное использование математического аппарата теории вероятностей и статистики.

2. Одновременное изменение всех факторов. Обеспечивает уменьшение стандартной ошибки при проведении экспериментов.

3. Последовательность планирования. Проведение экспериментов подразделяется на ряд последовательных этапов и планировние каждого последующего этапа производится с учётом результатов, полученных на предыдущих этапах.

4. Кодирование. Не обязательно. Кодирование значительно упрощает расчёты и делает анализ результатов более наглядным, что весьма существенно при «ручной» обработке результатов. При применении ЭВМ кодирование также представляет некоторые преимущества в анализе результатов.

7. План ДФЭ (дробных факторных экспериментов).

Планы ПФЭ имеет существенный недостаток, проявляющийся при сравнительно большом количестве факторов, так при K=3, N=8; при K=7, N=128, а при K=10, N=1024, что является неприемлемым. В некоторых случаях, если факторы независимы друг от друга, можно значительно уменьшить количество проводимых экспериментов, применяя план дробных факторных экспериментов (ДФЭ). В ДФЭ факторы разделяются на основные и дополнительные. Для основных факторов составляется план ПФЭ, а дополнительные меняются по законам изменения произведений основных факторов. Таким образом, например, если в эксперименте используется семь факторов, то по плану ПФЭ нам понадобилось бы провести 128 экспериментов. Если же они независимы друг от друга, то выделив из них три основных фактора и составив для них план ПФЭ мы сможем ограничиться всего 9 экспериментами с учётом центральной точки. Планы ДФЭ сохраняют все вышеназванные достоинства планов ПФЭ. Достоинства плана ПФЭ.

1. Симметричность. Каждая точка плана имеет симметричные себе точки относительно осей координат. В математическом плане симметричность сводится к тому, что построчная сумма элементов всех столбцов плана, кроме левого, равна нулю.

2. Нормированность, которая в математическом плане сводится к тому, что построчная сумма квадратов элементов всех столбцов плана, кроме левого, равна .

3. Ортогональность, которая заключается в независимости всех факторов друг от друга.

7. РЦКП (ротатабельный центральный композиционный план).

РЦКП обеспечивает незначимую величину ошибки в точках, равноотстоящих от центра проведения экспериментов, поэтому они широко применяются в динамических методах поиска экстремальных значений. Расстояние звёздной точки от центра осей координат и количество проводимых экспериментов в центральной точке вычисляются по формулам:

Составим матрицу планирования РЦКП для двух факторов:

Композиционные планы ОЦКП и РЦКП имеют существенный недостаток, который начинает сказываться с увеличением количества факторов в проводимых экспериментах, чем больше факторов, тем больше расстояние звёздных точек от центра осей координат, которое всё больше и больше удаляется от заданных границ диапазонов изменения факторов, что является нежелательным.

7. Д – оптимальные планы.

В D – оптимальных планах значения факторов не выходят за установленные границы диапазонов их изменения. Кроме того они обладают ещё одним существенным достоинством, обеспечивая минимальную ошибку во всём принятом диапазоне изменения факторов. На практике наиболее часто применяются планы Коно и планы Кифера.

Планы Коно. Для многофакторных экспериментов в геометрической интерпретации диапазон изменения факторов представляется многомерным кубом, который далее будем называть просто куб. Для двух факторов этот куб вырождается в квадрат. Эксперименты по плану Коно проводятся в вершинах куба, серединах рёбер и центре куба. Характерной особенностью D – оптимальных планов является разница в количестве проводимых экспериментов для точек плана различного вида. Удельные веса видов точек для двухфакторных экспериментов в планах Коно приняты следующие. 1. Вершины куба - =0.148. 2. Середины ребер -=0.078. 3. Центр куба -=0.096. Расположение точек стратегического плана на квадрате и кубе представлено на рис.

Геометрическая интерпретация двухфакторного плана на квадрате и трёхфакторного – на кубе

Количество точек для двухфакторного эксперимента (к=2) и трёхфакторного эксперимента (к=3)

к=2	к=3
=4 =4 =1	=8 =12 =1
9	21