Без математики.

1. Основные понятия (определения) моделирования.

Система – это совокупность элементов, связанных между собой так, что все вместе они образуют некоторую общность (единство).

Системы можно исследовать с различных точек зрения. Большой класс систем, в том числе и систем обработки информации (СОИ), формально представляются системами массового обслуживания (СМО) и сетями СМО. СОИ имеют все характерные черты СМО. В них присутствуют:

1. Потоки однородных событий.

2. Обслуживающие аппараты (ОА), которые выполняют запросы, поступающие от внешних источников.

3. Ограничения на ресурсы, заключающиеся в том, что не все запросы можно начать выполнять сразу в момент их поступления в СМО.

4.Очереди на выполнение запросов.

Для моделирования СМО используют аналитические, имитационные и регрессионные модели. Введем их определения.

Аналитическая модель – это совокупность математических зависимостей, построенных на принципах формального подобия процессов, происходящих в объекте моделирования и его модели.

Имитационная модель – это совокупность операторов алгоритма (программы), в которую можно подставить значения технических характеристик объекта моделирования, параметров внешней среды, времени, начальных значений, имеющихся ограничений и при выполнении имитационной программы в качестве результатов получить значения результативных показателей эффективности.

Регрессионная модель – представляет совокупность математических зависимостей, построенных на основании выявленных статистических зависимостей между переменными методом наименьших квадратов, который требует, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных значений от вычисленных была минимальной.

Имитация – это численный метод проведения экспериментов над математическими моделями сложных систем, подверженных случайным воздействиям.

Поток очередь выходной поток

клиентов

2. Методология моделирования.

Моделирование можно рассматривать как процесс, состоящий из искусства и науки, который основывается на основном принципе диалектического познания природы: «от простого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике». Математический аппарат моделирования основывается на теории вероятностей и математической статистики. Достоверность результатов моделирования обеспечивается соблюдением технологии моделирования СОИ, разработанной для его проведения.

ОИ – объект исследования, которым является моделируемая система. На первом этапе производят анализ моделируемой системы и постановку задач. Второй этап – формализация. Следуя по центральной ветви, которая выбирается на втором этапе, если имеющихся данных не достаточно и невозможно осуществить аналитическое моделирование (это активный эксперимент и имитационная модель (АЭИМ)) будем последовательно выполнять следующие этапы. На третьем этапе разрабатывается имитационная модель (РИМ). На четвертом оценивается пригодность модели (ОПМ). На пятом производится планирование эксперимента (ПЭ). На шестом производится статистический анализ (СА). Статистический анализ в зависимости от поставленных задач может включать в себя процедуры оценки однородности статистических данных, регрессионного, факторного и кластерного анализа. На седьмом производится оценка степени влияния факторов (ОСВФ), прогнозирование (ПР) и оптимизация (ОПТ).

На втором этапе может быть принято решение, что имеющихся статистических данных достаточно для проведения статистического анализа и построения регрессионной модели. В этом случае идем по стрелочке пассивный эксперимент, регрессионная модель (ПЭРМ). Если же исходных данных об ОИ недостаточно, но есть возможность их получить на натурном образце без построения математической модели идем по стрелочке активный эксперимент, регрессионная модель (АЭРМ).

Если имеющихся статистических данных о функционировании ОИ недостаточно и имеется возможность создания аналитической модели, то идем по верхней ветке. Это пассивный эксперимент и аналитическая модель (ПЭ АМ). В этом случае выполняются следующие этапы.

На этапе 3^l составляется граф-схема переходов (РГСП) и по ней система уравнений переходов (СУП).

На этапе 4^l производится построение вероятностных формул (ПВерФ).

На этапе 5^l получают количественные формулы (ПКФ).

На этапе 6^l получают временные формулы (ПВрФ).

Результаты моделирования возвращаются к ОИ по стрелочке «интерпретация», которая заключается в установлении соответствия между формальной моделью и объектом исследования.

3. I этап моделирования (анализ моделируемой системы и постановка задач).

На данном этапе решаются следующие задачи.

1. Составляется содержательное описание ОИ.

2. Выбирается совокупность результативных показателей эффективности функционирования ОИ и устанавливается перечень влияющих на них факторов.

3. Производится постановка задач.

1. Используется основной принцип системного анализа, он разбивает системы на подсистемы. Подсистемы м\б снова представлены подсистемами другого уровня. И так до тех пор, пока не выходим на уровень подсистем, которых можно считать неделимыми. При этом приходится принимать альтернативное решение. Если разбить системы на подсистемы и элементы, то несложно описать поведение элементов системы, но усложняется описание системы в целом. Если же взять сравнительно небольшое количество элементов, то упрощается описание самой системы в целом, но усложняется описание элементов системы.

После разбиения ОИ на подсистемы выполняются следующие работы.

1.1. Описывается функционирование системы в целом и всех ее подсистем и элементов.

1.2. Указываются связи подсистем и элементов между собой.

1.3. Указываются временные характеристики элементов. Временные характеристики задаются в виде последовательности случайных чисел либо как времена наступления каких-то событий, либо как промежутки времени между наступлением событий. t₁, t₂, …, t_n; Dt₁ = t₂ - t₁, Dt₂ = t₃ – t₂, …, Dt_n = t_n+1 – t_n.

Задаются начальные условия, т.е. состояния элементов системы в исходный мом. вр., например, это может быть количество занятых обслуживающих аппаратов, количество транзактов в очереди и т.п.

2. Под результативными показателями эффективности будем понимать количественные характеристики, которые показывают на сколько эффективно ОИ решает поставленные перед ним задачи. Это экономические показатели: прибыль, объем реализации, затраты на получение прибыли и т.п.

Кроме экономических показателей часто используют и технические, такие как количество решенных задач за единицу времени, среднее время решения задач и его стандартное отклонение, вероятность решения задачи за заданный интервал времени, коэффициент готовности (отношение времени, в течение которого система была в работоспособном состоянии к общему времени моделирования. Общее время моделирования включает в себя и время на профилактику и ремонт).

3. Постановка задач.

3.1. Главная задача – это получение математической модели объекта, которая на данном этапе записывается в функциональном виде.

где: y_j – j-й результативный показатель эффективности (отклик); К – общее количество результативных показателей эффективности;

х_i – i-й фактор, влияющий на отклики; М – общее количество факторов.

По матем-кой модели производят оценку степени влияния факторов на результативные показатели эффективности по их удельным весам в изменении откликов и по коэффициентам эластичности, которые показывают, на сколько процентов изменится отклик при изменении конкретного фактора на 1%. Такая оценка м. б. произведена, если все факторы влияют на отклики независимо друг от друга.

В целом математическая модель позволяет оценить изменение всех откликов при изменении значений факторов, входящих в математическую модель.

3.2. Постановка задачи выделения кластеров по показателям расстояния между признаками в группируемых ОИ формулируется как задача выделения однородных совокупностей объектов с выполнением следующих условий.

Условие 1 обеспечивает минимум сумм расстояний между признаками объектов, вошедших в один и тот же кластер; а 2 максимум этих сумм расстояний между объектами, вошедшими в разные кластеры.

Обозначения переменных:

n – количество объектов; - расстояние междуi-м и j-м объектами; - символ Кронекера, принимающий значение 1, еслиi-ый и j-ый объекты входят в один и тот же кластер; и значение 0, если не входят.

3.3.Факторный анализ – раздел многомерного статистического анализа, объединяющий методы оценки размерности множества наблюдаемых переменных с помощью исследования структуры корреляционных (ковариационных) матриц. Основное предположение этого анализа заключается в том, что корреляционные связи между большим числом исходных факторов определяются существованием меньшего числа гипотетических ненаблюдаемых переменных или факторов, названных общими скрытыми, или проще просто общими факторами. Общей моделью факторного анализа служит следующая линейная математическая зависимость:

где F_j – j-ый общий фактор; U_i – i-ый характерный фактор; e_i – случайная ошибка i-го исходного фактора.

Предполагается, что R<r задано, случайные величины e_i независимы между собой и с величинами F_j и U_i. Постоянные коэффициенты a_ij – называются факторными нагрузками (нагрузка i–го исходного фактора на j–й фактор). Значения a_ij, b_i считаются неизвестными параметрами, подлежащими оценке. Главными целями факторного анализа являются: сокращение числа переменных (редукция данных) и определение структуры взаимосвязей между переменными, т.е. классификация переменных.

3.4.Математическую модель можно использовать для оптимизации. Классическая постановка задачи оптимизации – максимизация (минимизация) целевой функции. На остальные функции накладываются ограничения.

Задача оптимизации заключается в определении оптимальных значений факторов, при которых максимизируется (минимизируется) целевая функция при соблюдении ограничений на другие функции и оптимизируемые факторы.

3.5. Прогнозирование. Для прогнозирования требуется получить математические зависимости переменных от времени на заданном интервале времени и расширить этот интервал времени еще на r значений, называемых интервалом прогнозирования.

В лучшем случае при прогнозировании удается получить сами математические зависимости, вычислить стандартные ошибки прогноза и построить доверительные интервалы. Отметим, что интервал прогноза r зависит от степени однородности статистических данных на интервале времени n.