Марковские смо. Граф состояний. Правила составления уравнений Колмогорова.

Фундаментальным вероятностным понятием, используемым в теории массового обслуживания, является марковский процесс. Это процесс, дальнейшее поведение которого определяется только его состоянием в данный момент времени и не зависит от предыстории процесса.

Пусть система может находиться в состояниях где— в системе находитсязаявок. Обозначим вероятность нахождения системы в конкретном состояниив момент временичерезОчевидно, что для каждого

Каждой паре состояний можно поставить в соответствие условную вероятностьтого, что система находится в состояниив моментпри условии, что в моментона находилась в состоянии.

Очевидно, что для вероятности можно написать:

(*)

Это уравнение означает, что система может оказаться в состоянии путем одного из многихнесовместных переходов. Причем вероятность нахождения системы в состояниипри условии, что ранее система находилась в состоянии n, по формуле произведения вероятностей событий равна

Если равна нулю, то переход из состояниявневозможен.

Соотношение (*) может быть записано в векторной форме:

(**)

где квадратная матрица образована из элементовудовлетворяющих условиям:

,

.

Из условия ординарности входного потока следует, что в каждый момент времени может прийти не более одной заявки и покинуть систему не более одной заявки. Отсюда

Матрица, удовлетворяющая этим условиям, называется матрицей переходов, вероятности — вероятности перехода. Из (**) следует, что для однородной последовательности Маркова, определяемой как последовательность, для которой значения элементов матрицыпостоянны (не зависят от номеров состояний), имеем:

,

в частности

,

т.е. марковская последовательность целиком определяется матрицей перехода и начальными условиями

Более компактно матрицу перехода можно представить в виде графа переходов, в котором вершины означают состояния системы, а дуги — вероятности переходов

...

Из графа переходов могут быть получены дифференциальные уравнения для вероятностей состояний, которые называются уравнениями Колмогорова.

Общее правило составления уравнений Колмогорова: в левой части уравнения стоит производная вероятности -го состояния; в правой части — сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых идут стрелки в данное состояние, на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного (-го) состояния.

Построим по этому правилу систему дифференциальных уравнений:

,

,

. . .

После преобразований получаем:

,

,

. . .

.

Эти уравнения могут быть решены при начальных условиях:

,

,

частотными методами с использованием преобразования Лапласса.

Чаще интересуются установившимся или стационарным режимом, для которого справедливо

.

Основные характеристики смо и соотношения между ними.

Параметр выражает степень насыщения в системе и называется загрузкой или коэффициентом использования СМО. Для одноканальных СМО приустановившегося режима не существует, очередь растет неограниченно. Параметрвыражает степень насыщения в системе и называется загрузкой или коэффициентом использования СМО. Для одноканальных СМО приустановившегося режима не существует, очередь растет неограниченно.

Установившийся режим не зависит от начальных условий. Получим некоторые числовые характеристики установившегося режима.

Среднее число заявок в системе:

.

Среднее число занятых каналов:

Среднее число заявок в очереди:

, проще: .

Выведем еще одну важную формулу, связывающую (для стационарного режима) среднее число заявок в системе и среднее время пребывания заявкив системе [2].

Для любой СМО, если в системе установился стационарный режим, то среднее число заявок, прибывающих в СМО за единицу времени, равно среднему числу заявок, покидающих ее: оба потока имеют одну и ту же интенсивность .

Формула Литтла:

.

Для любой СМО среднее время пребывания заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока заявок.

Аналогично выводится формула, связывающая среднее число заявок в очереди () исреднее время пребывания заявки в очереди ():.

Относительная пропускная способность () равна среднему числу обслуженных заявок к общему числу поступивших заявок (показывает долю обслуженных заявок):

Абсолютная пропускная способность () — число обслуженных заявок в единицу времени —