Основные понятия планирования эксперимента. Понятие фактора, отклика.

Исследуемый объект (над которым проводится эксперимент) будем представлять в виде модели «черного ящика» с входами и выходами. Цель эксперимента — изучение влияния переменныхна. Входыназываются факторами (независимые, экзогенные переменные); выходы— реакция/отклик (параметр оптимизации, целевая функция, эндогенные переменные).

Фактор может принимать одно из нескольких значений-уровней. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний системы и представляет собой условия проведения одного из возможных опытов одного эксперимента — точка в факторном пространстве. Факторное пространство — это координатное пространство, на осях которого откладывают значения исследуемых факторов. Если перебрать все возможные наборы состояний системы, то мы получим полное множество состояний — число возможных опытов. Математическая модель объекта — это функциональная зависимость:

, (*)

которая называется функцией отклика, а ее геометрический образ — поверхностью отклика.

Все факторы можно разделить на:

1. управляемые и неуправляемые. Для управляемых уровни выбираются в процессе эксперимента;

2. наблюдаемые и ненаблюдаемые. Наблюдаемые неуправляемые — сопутствующие (воздействия внешней среды — стохастические переменные при машинном моделировании);

3. изучаемые и неизучаемые. Фактор изучаемый, если включен в модель для изучения свойств системы, а не для вспомогательных целей (увеличение точности эксперимента);

4. количественные и качественные. Для качественных факторов можно построить условную порядковую шкалу, с помощью которой производится кодирование.

При проведении эксперимента с моделью для оценки некоторых характеристик экспериментатор стремится создать такие условия, которые способствуют выявлению влияния факторов на исследуемую характеристику. Для этого необходимо:

1. отобрать факторы , влияющие на искомую характеристику;

2. описать функциональную зависимость (*);

3. установить диапазон изменения  ;

4. определить координаты точек факторного пространства , в которых следует проводить эксперимент;

5. оценить необходимое число реализаций и их порядок в эксперименте.

В общем случае, когда исследование модели ведется при неполном знании механизма изучаемых явлений, аналитическое выражение функции (*) неизвестно. Наибольшее в этом случае применение нашли модели в виде полиномов

с теоретическими коэффициентами регрессии . Функция отклика может иметь и более сложную зависимость от факторов. Некоторые из них удается привести к линейному виду. Такими моделями являются мультипликативная регрессионная, экспоненциальная и др. Если выбрана модель планирования, т.е. выбран вид функции (*) и записано уравнение, то остается спланировать и провести эксперимент для оценки числовых значений коэффициентов этого уравнения.

План эксперимента, позволяющий вычислить коэффициенты линейного уравнения регрессии, называют планом первого порядка. План эксперимента, позволяющий вычислить коэффициенты полного уравнения регрессии -й степени, будетпланом -го порядка.

Планы первого порядка. Полный и дробный факторные эксперименты.

Построение плана первого порядка начинается с выбора области эксперимента, выбора основного уровня и выбора интервалов изменения факторов. При выборе области эксперимента необходимо оценить границы областей определения факторов. При этом учитываются ограничения трех типов:

1. принципиальные ограничения (невозможные значения, например, температура — абсолютный нуль);

2. технико-экономические (стоимость сырья, дефицит компонентов, время);

3. конкретные условия (определяются аппаратурой в наличии, технологией и т.п.).

Выбор основного уровня осуществляется в зависимости от поставленной задачи. Если определяется оптимальный режим, то в качестве основного уровня выбираются наилучшие условия из априорной информации. Построение плана эксперимента сводится к выбору экспериментальных точек, симметричных относительно основного (нулевого) уровня.

Выбор интервалов изменения: для получения линейной модели необходимо каждый фактор варьировать на двух уровнях. Интервал варьирования — это расстояние на координатной оси между основным и верхним/нижним уровнем.

Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по осям выбираются так, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний –1, а основной — нулю. Для факторов с непрерывной областью определения масштабирование производится по следующей формуле:

,

где — кодированное значение фактора;

—натуральное значение фактора;

—натуральное значение основного уровня;

—интервал изменения ;

—номер фактора.

На интервал изменения накладываются ограничения: он не может быть меньше ошибки, с которой фиксируется уровень фактора, и не может быть настолько большим, чтобы уровни выходили за область определения. В остальном выбор интервала варьирования, как и основного уровня, основан на интуитивных решениях.

Полный факторный эксперимент (ПФЭ)

Полным факторным экспериментом называются сочетания всех уровней факторов.

Если число факторов — , а число уровней каждого фактора —, то имеем полный факторный эксперимент типа. Рассмотрим эксперимент типа. Условия эксперимента можно записать в виде таблицы-матрицы планирования эксперимента (рис 3.1), где строки соответствуют опытам, а столбцы — значениям факторов (табл. 3.1)

—фиктивная переменная (вводится для удобств математических выкладок при оценке свободного члена )

Таблица 3.1

План эксперимента

№ опыта
1	+1	–1	–1
2	+1	+1	–1
3	+1	–1	+1
4	+1	+1	+1

Свойства полного факторного эксперимента типа

а) симметричность относительно центра эксперимента: алгебраическая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна 0: — номер опыта;

б) условие нормировки: сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов: (т.к. значения факторов по модулю равны единице);

в) ортогональность: сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов равна нулю: . Данное свойство влечет независимость соответствующих коэффициентов регрессии;

г) ротатабельность: точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказания значений параметра оптимизации (отклика) одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления. Из данного свойства следует равномерность распределения дисперсии предсказанных значений параметра (отклика).

Дробный факторный эксперимент

Количество испытаний в ПФЭ значительно превосходит число определяемых коэффициентов линейной модели плана эксперимента, причем тем более, чем больше факторов (2 фактора — 4 опыта, 3 фактора — 8 опытов, 4 фактора — 16 опытов и т.д.).

Таким образом, ПФЭ обладает большой избыточностью (в случае, если факторы независимы и не определяются коэффициенты эффектов взаимодействия ). Возникает вопрос: как построить ортогональный план, позволяющий определить коэффициенты линейного уровня, который содержал бы меньшее число опытов, чем ПФЭ?

Пусть . Полный факторный эксперимент содержит 16 опытов (точек). Для получения линейной зависимости требуется 5 точек, а для выполнения свойств ортогональности — 6. Есть ли ортогональный план, для которого? Такой план существует. Это план для случаяпредставленный в таблице 3.3. т.к. мы считаем, что факторы независимы и эффекты взаимодействия равны 0, то можно воспользоваться для четвертой переменной любым из столбцов, характеризующих эффекты взаимодействия, например,.

Таблица 3.3

План дробного факторного эксперимента

№
1	+	+	+	+	+	+	+	+
2	+	–	+	+	–	–	–	+
3	+	+	–	+	–	–	+	–
4	+	–	–	+	+	+	–	–
5	+	+	+	–	–	+	–	–
6	+	–	+	–	+	–	+	–
7	+	+	–	–	+	–	–	+
8	+	–	–	–	–	+	+	+

Полученный план содержит половину опытов ПФЭ и носит название полуреплики. Используются также четвертьреплики, 1/8 реплики ит.д. Дробные реплики символически записывают следующим образом: , где— общее число факторов;— число линейных эффектов, приравненных к эффектам взаимодействия;— число факторов в плане ПФЭ, к которому приравнивается дробная реплика. Целесообразность применения дробных реплик возрастает с ростом количества факторов.

Системы массового обслуживания: основные понятия, элементы, типы СМО, показатели эффективности

При исследовании операций очень часто приходится сталкиваться с анализом работы систем, называемых системами массового обслуживания (СМО). Примерами таких систем могут служить: телефонные станции, магазины, билетные кассы и т.п. Каждая СМО состоит из какого-то числа обслуживающих единиц, которые называются каналами обслуживания. В качестве каналов обслуживания могут фигурировать: линии связи, продавцы, лифты, автомашины и т.д.

Каждая СМО предназначена для обслуживания какого-то потока заявок (или требований), поступающих на СМО в случайные моменты времени. Обслуживание заявки продолжается некоторое (случайное) время, после чего канал освобождается и готов к принятию следующей заявки.

Моделирование СМО заключается в сведении исходной системы к кибернетической модели. Модели массового обслуживания относятся к вероятностным кибернетическим моделям, в которых имеет место случайный характер изменения входных воздействий и параметров системы. Здесь, суммируя и усредняя по определенным законам отдельные случайные явления (поток пассажиров в аэропорту или метро), получают вполне определенные неслучайные значения параметров управления (например, необходимое число единиц транспорта). Результаты исследований, проводимых на модели, внедряются затем в реальную систему. Модель может быть одна и та же для разных исходных систем, будь то аэропорт или телефонная сеть большого города.

Основным математическим аппаратом для изучения функционирования таких систем является теория вероятностей.

Термин “массовый” предполагает многократную повторяемость ситуаций в том или ином смысле (много заявок, длительное функционирование системы и т.п.). Выводы и рекомендации, получаемые методами теории массового обслуживания, применимы лишь при наличии одного или нескольких из перечисленных факторов повторяемости. При этом необходимо учитывать, что поскольку поток заявок и продолжительность времени обслуживания носят случайный характер, то и прогноз относительно единичного события может быть только вероятностным.

Для оценки качества работы вероятностной модели вводят количественные показатели эффективности ее работы.

Для СМО — это полная средняя стоимость в единицу времени:

,

где — среднее число заявок в очереди;

—среднее число свободных обслуживающих приборов;

—стоимость ожидания одной заявки в единицу времени;

—стоимость простоя одного обслуживающего прибора в единицу времени.

Источник заявок (рис. 4.1) формирует входной поток, задерживая на какой-то отрезок времени поступление заявки в его состав. Интервалы между заявками входного потока в общем случае неодинаковы: это случайные величины, которые определяются вероятностными законами входного потока. Заявки поступают на вход очереди, в котором реализуется заданный закон дисциплины очереди. Этот закон определяет порядок обслуживания входных заявок, который может быть детерминированным (первой обслуживается заявка, которая первой поступила) или случайным (закон Эрланга).

Канал обслуживания осуществляет обслуживание каждой заявки в соответствии с заданным детерминированным или случайным законом обслуживания. Выходной поток заявок отличается от входного в зависимости от законов дисциплины очереди и обслуживания.

Существует большое количество различных СМО.

Перечислим основные классы СМО по разным основаниям:

а) марковские и немарковские: в марковских СМО динамика описывается с помощью марковских процессов. Аналитическому исследованию поддаются только частные типы немарковских СМО — полумарковские, линейчатые и др.;

б) одноканальные и многоканальные (по числу каналов обслуживания, которые могут одновременно обслуживать входные заявки);

в) с отказами и без отказов (в зависимости от того, разрешается входной заявке ждать в очереди или нет; если разрешается — ограничена очередь по длине или времени, либо нет);

г) многофазные и однофазные: при последовательном процессе обслуживания заявки несколькими приборами;

д) открытые и замкнутые: обслуженная заявка либо покидает СМО, либо снова поступает на обслуживание;

е) одиночные и сети СМО: сложные комбинации всех рассмотренных выше СМО.