26. Одноканальная модель смо с пуассоновским входным потоком и экспоненц распределением длительности обслуживания с ожиданием без ограничения длины очереди

Стационарный режим функционирования данной СМО суще­ствует при t →∞ оо для любого n = 0, 1, 2, ... и когда λ < μ. Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при t →∞ для любого n = 0, 1, 2, ... , имеет вид

Решение данной системы уравнений имеет вид

Характеристики одноканальной СМО с ожиданием, без огра­ничения на длину очереди, следующие: среднее число находящихся в системе клиентов на обслуживание: ; средняя продолжительность пребывания клиента в системе:; среднее число клиентов в очереди на обслуживании:; средняя продолжительность пребывания клиента в очереди:

27. Многоканальная модель смо с пуассоновским входным потоком и экспоненц распределением длительности обслуживания с отказами.

В подавляющем большинстве случаев на практике системы мас­сового обслуживания являются многоканальными. Процесс массового обслуживания, описываемый данной моде­лью, характеризуется интенсивностью входного потока λ, при этом параллельно может обслуживаться не более n клиентов. Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняет­ся l/μ. Входной и выходной потоки являются пуассоновскими. Ре­жим функционирования того или иного обслуживающего канала не влияет на режим функционирования других обслуживающих ка­налов системы. Граф состояний многоканальной системы массового обслужи­вания с отказами имеет вид, показанный на рис. 4.3.

Состояния данной СМО имеют следующую интерпретацию:

S0 - все каналы свободны; S1 - занят один канал, остальные свободны; Sk - заняты ровно k каналов, остальные свободны; Sn - заняты все n каналов, заявка получает отказ в обслужива­нии.

Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний системы Р0, …, Pk,…, Рn будут иметь следующий вид:

Начальные условия решения системы таковы:

P0(0)=1, P1(0)=P2(0)=…=Pk(0)=…=Pn(0)=0. Стационарное решение системы имеет вид:

где.Формулы для вычисления вероятностей Pk называются форму­лами Эрланга.

28. Многоканальная модель смо с пуассоновским входным потоком и экспоненц распределением длительности обслуживания с ожиданием.

Процесс массового обслуживания при этом характери­зуется следующим: входной и выходной потоки являются пуассоновскими с интенсивностями λ и μ соответственно; параллельно обслуживаться могут не более С клиентов. Система имеет С кана­лов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна

В установившемся режиме функционирование многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью может быть описа­но с помощью системы алгебраических уравнений: Решение системы уравнений имеет видгде Решение будет действительным, если выполняется следующее условие:

29. Вероятностные характеристики функционирования в стационар­ном режиме системы массового обслуживания.

В многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной оче­редьюопределяются по следующим формулам: вероятность того, что в системе находится n клиентов на обслу­живании, определяется по формулам; ; среднее число клиентов в очереди на обслуживание; среднее число находящихся в системе клиентов Ls=Lq + ρ; средняя продолжительность пребывания клиента в очереди; средняя продолжительность пребывания клиента в системеВ многоканальной СМО с отказами в стационарном режиме: вероятность отказа:

так как заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все n каналов заняты. Величина Ротк характеризует полноту обслужива­ния входящего потока; вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же — относительная пропускная способность системы q) допол­няет Ротк до единицы:

абсолютная пропускная способность A=λ*q=λ*(1-Pотк); среднее число каналов, занятых обслуживанием следующее:Оно характеризует степень загрузки системы.