Сетевые модели (n-схемы)
В практике моделирования часто приходится иметь дело со сложными системами, где одновременно параллельно протекает несколько процессов.
Самым распространенным подходом для моделирования таких систем являются сети Петре.
Формально сети Петре задаются вида:
,
где В – конечное множество символов, называемых позициями;
D – конечное множество символов, называемых переходами;
I – входная функция;
О – выходная функция.
Входная функция I отражает переход dj в множество выходных позиций di:
.
Выходная функция О отражает переход dj в множество выходных позиций di:
.
Графически N-схема (Petri Nets) изображаются в виде двудольного ориентированного мультиграфа представляющего собой совокупность позиций и переходов.
Таким образом, мы изобразили N-схему, которая изображается подмножеством:
,
- позиции,
- переходы,
,
,
,
,
,
,
,
.
Приведенное представление N-схемы может использоваться только для отражения в статике моделируемой системы.
Для отображения динамики вводится функции маркировки (разметки), а также может использоваться временные сети, Е-сети, сети Мерлина и т.д.
Комбинирование модели а-схемы
Для описания обобщенных систем (непрерывных и дискретных, детерминированных и стохастических) используется понятие агрегативной системы, представляющей собой формальную схему общего вида, называемая А-схемой (Aggregate system).
При агрегативном описании сложный объект разбивается на конечное число подсистем, сохраняя при этом связи, обеспечивающие их взаимодействие, т.е. в качестве элемента А-схемы выступает агрегат, а связь между агрегатами внутри системы S и с внешней средой Е осуществляется с помощью оператора сопряжения.
Агрегат, если может рассматриваться как А-схема, т.е. разбиваться на элементы (агрегат следующего уровня).
Агрегат описывается
следующим множеством
и множеством случайных операторов
.
Где Т – множество моментов времени,
Х – множество входных сигналов,
Y – множество выходных сигналов,
Z – множество состояний,
Н – множество внутренних параметров системы,
V – описывает процесс функционирования агрегата в случае воздействия входного сигнала,
U – описывает состояние агрегаты, если интервал времени не содержит не одного момента поступления сигналов,
W – описывает скачки состояния в особые моменты времени не являющиеся моментами поступления входных сигналов,
Z(Y) – подмножество в множестве состояний Z, который является моментом выдачи выходного сигнала, определяемая оператором выхода G.
Функционирование, рассмотренное А-схемой связано с переработкой информации, передача, которой показана стрелками. Вся информация, циркулирующая в схеме делится на внутреннюю и внешнюю. Внешняя информация проступает от внешних объектов не являющаяся элементами А-схемы. А внутренняя информация вырабатывается агрегатами самой А-схемы. Обмен информации между элементами А-схемы и внешней средой, называется полюсами А-схемы, при этом при этом различают входные полюса агрегата и выходные полюса.
Агрегаты не являющиеся полюсами, называются внутренними.
Лекция № 7
Новый блок системы с распределенными параметрами
Основные понятия СРП
Первый этап в развитии ТАУ был связан управлением систем, состояние которых характеризуется поведением во времени t некоторого набора конечного числа n-функций одной переменной t.
.
Подобные системы описываются дифференциальными уравнениями (одним или несколькими) относительно Q(t) и называется системой с сосредоточенными параметрами (ССП).
Модели большого числа ОУ могут быть с достаточной для практических целей точности отнесены к классу ССП. Но на практике любой технический ОУ имеет вполне определенные геометрические размеры, поэтому функция, характеризующая его состояние изменяется в пределах пространственной области, занимаемой объектом, а, следовательно, зависит от вектора х в пространственных координатах являясь функцией Q(x,t) по меньшей мере, двух координат. Если зависимость Q(t) пренебрежительно мала, то такой объект можно отнести к типу ССП. В противном случае этого нельзя сделать без существенных погрешностей в описанных управляющих процессах или даже без потери их качественных особенностей.
Системы, состояния которых описывается функциями нескольких алгоритмов, зависящих как от времени, так и от пространственных координат, получили название СРП.
Основные особенности СРП
1) Состояние СРП
описывается дифференциальным уравнением
в частных производных (содержащие
производные функции состояния, как во
времени, так и по пространственным
координатам), интегральными уравнениями,
а также гибкими системами уравнений
различной природы
математические модели СРП качественно
отличаются от ССП.
2) По сравнению с ССП расширяется класс управляющих воздействий за счет пространственно-временных управлений, описываемых подобно управляемому состоянию СРП, функциями нескольких аргументов (t,x), применительно к таким воздействиям становится непригодные стандартные техники исследования ССП.
Базовая функция объектов с распределенными параметрами
Функция состояния
Q(x,t)
объекта с распределенными параметрами
(вход объекта), определенная по
пространственной переменной
(замкнутой области D),
удовлетворяют уравнению:
(1)
где
- открытая часть области D,
не содержащая границы.
L – некоторый заданный оператор (линейная функция Q, в частных производных Q(x,t) различных порядков, интегральный оператор от Q(x,t) и/или x, t).
Конкретный вид L определяется содержанием описываемого процесса.
f(x,t) – известная функция, характеризующая внешнее воздействие на процесс (вход ОРП).
Если
,
то уравнение (1)однородное, соответственно,
если
,
то уравнение (1) – неоднородное.
Замечание 1:
Если
- векторная функция состояния,
,
где
,
то уравнение (1) представляет собой
систему n-операторных
уравнений.
Далее будим считать,
что ОРП описывается единственным
уравнением (1) для одной функции
.
Замечание 2:
В большинстве практических задач L – это дифференциальный оператор. Для единственного решения необходимо его дополнить начальными условиями, которые описываются некоторым линейным оператором N.
(2)
При заданных
начальных условиях
,
описывающих распределение в D,
состояние ОРП в начальный момент времени.
Если
,
то начальное условие (2) называется
нулевым. Если
,
то начальное условие (2) называется не
нулевым.
Условие (2) необходимо, но недостаточно для выделения единственного решения, что является важной принципиальной особенностью РСП по сравнению с ССП.
Полная система
соотношений должна содержать граничные
условия, для
,
которые характеризуют взаимодействие
с внешней средой, должны выполняться
для
на границе
области
.
(3)
где Г – линейный оператор,
- внешнее воздействие,
которое можно рассматривать как второй
вход объекта наряду
.
Если
,
то граничные условия однородные. Если
,
то граничные условия неоднородны.
Уравнения (11)-(13) с
заданными линейными дифференциальными
операторами L,
N,
Г, составляющие краевую задачу, являются
базовой моделью для математического
описания широкого класса ОРП с управляющей
выходной функцией состояния
и внешними входами
и
,
которые могут фигурировать как в качестве
управляющих, так и/или возникающих
воздействий.
Иногда в качестве
входа объекта выступает начальная
функция
.
Замечание:
Далее рассматриваются только детерминированные модели.
Функция состояния
ОРП представляет собой большинство
случаев пространственно-временные
характеристики полей различной физической
природы, и поэтому с удовлетворительной
точностью описываются линейные
диффиринциальные уравнения.
Чаще всего уравнение математической функции имеет порядок не выше второго (по номеру старшей производной).
Для простейшего
случая пространственной распределённости
по одной координате х, изменяющейся на
отрезке
(одномерная задача), уравнение (1)
записывается в виде:
(4)
где А, В, С – заданные функции могут быть равны CONST/
В зависимости от значения, дискриминанты Δ, равные (АВВ2), различают уравнения:
- гиперболического типа (Δ<0),
- параболического типа (Δ=0),
- эллиптического типа (Δ>0),
- смешанного типа (Δ меняет знак в области допустимых изменений x и t).