Непрерывно детерминированные модели (d-схемы)

Используя этот подход в качестве математической модели, применяют диффиринциальные уравнения.

Если в диффиринциальных уравнениях не известны функции многих переменных, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных. В противном случае, при рассмотрении функции только одной независимой переменной, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Математическое состояние для детерминированных систем будет выглядеть:

,

,

где

,

,

- вектор функция, которая определена на некотором (n+1)-мерном множестве и является непрерывной, т.к. математические схемы такого вида отражают динамику изучаемой системы, то они называются D-схемами.

Лекция № 3

Наиболее важно для системотехники приложение D-схем, в качестве математического аппарата в ТАУ.

Для иллюстрации рассмотрим две элементарные системы различной физической природы.

а) Механическая – колебание маятника.

Процесс малых колебаний маятника описывается обыкновенным дифференциальным уравнением вида:

где - масса маятника;

- длина подвеса маятника;

- ускорение свободного падения;

- угол отклонения маятника в момент времени t.

Из этого уравнения могут быть получены различные характеристики, например, период колебания маятника:

б) электрический контур.

Аналогичны процессы в электрическом контуре, описывается дифференциальное уравнение вида:

,

.

где и - индуктивность, и емкость конденсаторов,

- заряд конденсатора в момент времени t.

Из этого уравнения также могут быть найдены различные характеристики, например, .

Очевидно, что, введя обозначения:

, ,

, ,

, получим дифференциальное уравнение второго порядка:

где - параметры системы;

- состояние системы в момент времени t.

Таким образом, поведение этих двух объектов может быть исследовано на основе общей математической модели, причем поведение одной системы может быть проанализировано с помощью другой и наоборот.

Если изучаемая система маятника или контур взаимодействует с внешней средой, то появляется входное воздействие x(t) (внешняя сила для маятника и источник энергии для контура). Тогда непрерывно детерминированная модель будет иметь вид:

Получение передаточной функции из дифференциального уравнения

Передаточная функция равна отношению изображений по Лапласу переменных выходов и входа при нулевых начальных условиях.

Пусть система описывается дифференциальным уравнением второго порядка:

Начальные условия: и .

Преобразуем уравнение по Лапласу, для чего воспользуемся свойством линейности преобразования, а также теоремой о дифференцирования оригинала.

Теорема о дифференцируемости, оператор Лапласа:

Также уравнение можно записать в другом виде:

Так как мы находим передаточную функцию, то все наши начальные условия равны 0, тогда мы получаем уравнение:

Тогда передаточная функция окончательно записывается в виде: