17. Численные методы решения оду и систем оду.

Численные методы решения ДУ исп при моделировании динамических тех объектов:

- метод последовательных приближений

- конечно-разностные методы, - Рунге-Кутта, - прогноза и коррекции

Метод Рунге–Кутта

Применяется для решения ДУ из-за высокой точности.

Отличительная особенность — уточнение наклона интегральной кривой за счет вычисления производной не только в начале текущего отрезка интегрирования, но и, например, в середине отрезка (для двучленных схем Р–К) или 4хкратное вычисление производных в методе 4ого порядка. При одном уравнения двучленная итерационная формула:

y_n+1=y_n+h_f(x_n+0,5_h,y_n+0,5hf_n)

Последовательность вычислений: сначала делают половинный шаг по схеме ломаных (по формуле Эйлера), находя y_n+0,5=y_n+hy’_n+0,5, затем в найденной точке определяют наклон кривой y’_n+0,5=f(x_n+0,5, y_n+0,5) и по этому наклону определяют приращение на целом шаге y_n+1=y_n+ hy’_n+0,5.

Четырехчленная схема Рунге–Кутта наиболее часто употребляется в машинных расчетах и имеет четвертый порядок точности:

y_n+1=y_n+(h/6)*(k1+2k2+2k3+k4)

k1=f(x_n,y_n); k2=f(x_n+h/2,y_n+hk1/2),

k3=f(x_n+h/2,y_n+hk1/2), k4=f(x_n+h,y_n+hk3),

Метод Рунге–Кутта легко переносится и на случай системы ДУ.

Метод конечных разностей

Широко известный и простейший метод интерполяции. Его суть заключается в замене дифференциальных коэффициентов уравнения на разностные коэффициенты[1], что позволяет свести решение дифференциального уравнения к решению его разностного аналога, т.е. построить его конечно-разностную схему.

Так, заменив производную в обыкновенном дифференциальном уравнении

u'(x) = 3u(x) + 2

на конечную разность

(u(x+h)-u(x))/h ≈ u’(x),

получаем аппроксимированную форму (конечно-разностную схему)

u(x+h) = u(x) + h(3u(x)+2).

Последнее выражение носит название конечно-разностного уравнения, а его решение соответствует приближённому решению первоначального дифференциального уравнения.

20. Определение, виды и п-ры динам модели, понятия времени, прост-ва, дв.

Динамическая модель – система, зависящая от времени. Ньютон различал: физическое (астрономическое ) время, математическое (абсолютное) – без конкретной привязки к чему-либо внешнему, непрерывное, дискретное – возрастающая последовательность вида {t1,t2,…,t3}. Дискретное время прим там, где наблюдается разделение технического объекта на «быстрое» и «медленное». Графики функций x(t),y(t),z(t) – временные диаграммы.

С позиций классической физики наше пространство рассматривается как трехмерное, однородное и изотропное, не зависящее от находящихся в нем материальных тел и подчиняющееся евклидовой геометрии. Ньютон подразумевал два вида пространства: относительное, с которым люди встречаются путем измерения пространственных соотношений между телами, и абсолютное - пустое вместилище тел, трехмерное евклидово пространство, то есть фактически различал пространство движения и движение в пространстве.

По видам оператора (глобальной функции) динамические системы и их модели делятся на: линейные и нелинейные, непрерывные и дискретные, стационарные и нестационарные, одномерные и многомерные, с сосредоточенны-ми и распределенными параметрами.

Линейные системы - описываются линейными диф. урами

Нелинейные системы - описываются нелинейными диф. уравнениями

Непрерывные системы - описываются диф. урами.

Дискретные – описываются разностными диф урами.

Стационарные системы – описываются уравнениями с постоянными коэф.

Нестационарные системы - описываются уравнениями с переменными коэф.

Одномерные системы – имеют один вход – один выход.

Многомерные системы – имеют суммарное число входов и выходов ≥2.

Внешние воздействия делятся на:

1. Непрерывные (функция непрерывного аргумента).

2. Дискретные (функция дискретного аргумента).

3. Детерминированные и случайные.

4. Одномерные и многомерные.

Например, динамическая система описывается диф. уравнением вида:

a_n(t)∙(dⁿx(t))/dtⁿ+...+a₀(t)x(t)=b_m(t)∙(d^my(t))/dt^m +...+b₀(t)y(t) здесь:y(t) – входной

сигнал, x(t) – выходной сигнал, a(t), b(t) – внутренние параметры системы, коэфы левой и правой частей уравнения. Эта система: линейная, непрерывная, нестационарная, детерминированная, одномерная. Внешние воздействия: непрерывные, детерминированные, одномерные. Если коэффициенты уравнения постоянные, то система называется линейной стационарной:

a_n(dⁿx(t))/dtⁿ+...+a₀x(t)=b_m(d^my(t))/dt^m +...+b₀y(t)

Для механических систем основными выходными параметрами являются:

- зависимость перемещения (линейного, углового) от времени

- зависимость ускорения от времени

- зависимость скорости от времени