13. Построение моделей по результатам эксперимента.

Для этого применяется аппроксимация. Направления применения:

• Обработка результатов эксперименты по компьютерной модели

• Обработка результатов натурного эксперимента, синтез модели.

• Создание робастных моделей элементов при моделировании систем.

Компьютерный эксперимент - модель, построенная в численном виде в кач вых параметров, имеет дискретные функции, для получения новых значений которых нужно проводить новый эксперимент по модели. Чтобы не проводить новые эксперименты по модели надо заменить табличную результирующую функцию аналитической функцией, полученной путем аппроксимации.

Второе направление – позволяет применить методы аппроксимации к дискретным данным, полученными, как правило, в виде файлов после проведения натурных экспериментов с применением специальных датчиков

Третье направление – замена точной модели элемента в системе робастной модели (грубой, приближенной) при синтезе моделей сложных технических систем. Подразумевается, что робастные модели должны выдерживать ошибки, которые теми или иными способами могут попадать в исходные данные.

Пример 1-го направления: в электрич схеме с переменным сопротивлением надо получить аналитическую функцию и значения max напряжения на конденсаторе в завис от емкости кондера

–вектор значений изменяемого внутреннего параметра

– экстремальное значение выходного сигнала.

Выполняем аппроксимацию

H:=linfit(CR,Amax,F) g(m):=F(m)·k m:=0,0.01..0.13

Пример 2-го направления: надо получить аппроксимирующую зависимость изменения значений ЭДС индукции от времени. Результаты эксперимента заданы в виде данных, которые надо предварительно сгладить. Функция loess позволяет аппроксимировать данные локальными полиномами 2-го порядка, исследуя данные в окрестности точки, представляющей интерес. Отличие от функции regress что regress приближает все точки данных используя 1 полином, а loess исп множество полиномов. Loess(VX, VY, span), span – величина, задающая длину отрезка, чем<, тем лучше значение данных.

После получения нового вектора ищем min и max элементы, проводим аапрокстимацию.

14. Аппроксимация и интерполяция. Математические определения

Аппроксимация - замена исходной функции F(x) функцией φ(x) так, чтобы отличие F(x) от φ(x) в заданной области было min. φ(x) - аппроксимирующая. Если исходная F(x) задана таблично (дискретно), то аппроксимирующая наз дискретной. Если F(x) задана на отрезке, то аппроксимирующая - непрерывная или интегральная.

Интерполяция - замена исходной F(X) функцией φ(x), так чтобы φ(x) точно проходила ч/з точки исх функции. Интерполяция частный случай аппроксимации (точечная). Точки исх функции – узлы интерполяции. Экстрополяция - аппроксимация вне заданной области определения исх функции.

Мера отклонения функ F(x) от φ(x) - величина, равная сумме квадратов разностей между аппроксимирующей и исх функ и она должна стремиться к min.

Σ(yi-f(xi))²→min

Простейшие виды интерп - линейная и квадратичная. При линейной точки заданной функции соединяются линейными отрезками, а при квадратичной - отрезками парабол.

Исп также кубическая сплайн интерполяция. Сплайн - модель гибкого тонкого стержня из упругого материала, закрепленного в 2-х соседних узлах интерполяции с заданными углами наклона α и β, так чтобы потенциальная энергия стержня была min.

Регрессия - представление совокупности данных некоторой функции F(x).