7. Обзор методов построения математических моделей

Мат модель может быть получена аналитически по результатам экспериментального исследования входных и выходных переменных объекта без изучения его физической сущности. Наиболее достоверные модели получают аналитическим путем, но из-за отсутствия некоторых данных применяют эмпирический подход. Эти группы методов базируются на:

-физическом подходе - непосредственное применение физических законов;

-формальном подходе - исп общие математические принципы при описании физ св-в объектов

Физ подход: узловой метод, контурный метод, табличный метод.

Для формального подхода прим разные численные методы.

Классификация численных методов:

- методы решения уравнений

- решение систем уравнений

- вычисление интегралов

- аппроксимация и интерполяция

- методы решения ДУ и их систем

- методы оптимизации и прочие

8. Применение численных методов в математическом моделировании

Для алгебраических и трансцендентных уравнений пригодны одни и те же методы уточнения приближенных значений действительных корней:

- метод половинного деления (дихотомии), - метод простых итераций

- метод Ньютона (касательных), - метод хорд

- модифицированный метод Ньютона (секущей) и прочие

Для систем линейных уравнений реализуются след методы:

- метод определителей Крамера - матричный метод, - метод Гаусса

Для систем нелинейных уравнений:

- метод Ньютона, - метод простых итераций

К методам вычисления определенного интеграла

- метод прямоугольников, - метод трапеций, - метод Симпсона

Численные методы интерполяции:

- линейная интерполяция, - сплайновая интерполяция,

- тригонометрическая интерполяция

Аппроксимация - метод наименьших квадратов

Численные методы решения ДУ исп при моделировании динамических тех объектов:

- метод последовательных приближений

- конечно-разностные методы, - Рунге-Кутта, - прогноза и коррекции

Методы оптимизации:

- метод золотого сечения, - градиентного спуска

- сопряженных градиентов, - метод Ньютона

9. Численные методы решения алгебраических уравнений и систем

Для алгебраических и трансцендентных уравнений пригодны одни и те же методы уточнения приближенных значений действительных корней:

- метод половинного деления (дихотомии), - метод простых итераций

- метод Ньютона (касательных), - метод хорд

- модифицированный метод Ньютона (секущей) и прочие

Для систем линейных уравнений реализуются след методы:

- метод определителей Крамера - матричный метод, - метод Гаусса

Метод половинного деления.

Сначала определяем середину с отрезка [a, b] c = (a+b)/2 и вычисляем

значение функции f(c). Далее делаем выбор, какую из двух частей взять для

уточнения корня. Очевидно, что корень будет находиться в той половине

исходного отрезка, на концах которой функция имеет разные знаки. Для очередного шага уточнения положения корня отрезок[c, b] из рассмотрения исключаем, а с отрезком [a, c] продолжаем процесс деления, как и с первоначальным отрезком [a, b], формально переприсваивая новому значению b значение c. Если же реализуется ситуация, когда функция имеет разные знаки на концах отрезка [c, b], то из рассмотрения следует исключить отрезок [a, c], формально переприсваивая новому значению а

значение c .

В результате мы получим последовательность вложенных друг в друга

Отрезков все уменьшающейся длины: [a1, b1], [a2 , b2],... [an , bn] . Этот

повторяющийся (итерационный) процесс будем продолжать до тех пор, пока длина отрезка [an , bn] не станет меньше заданной погрешности ε вычислений. Тогда искомый корень ξ ≈ a n ≈ b n ≈ (a n + b n)/2.

Метод Крамера: А) Записывают систему в матричном виде. Б) Вычисляют главный определитель системы. В) Вычисляют все дополнительные определители системы (заменяя нужный столбец, столбцом ответов). Г) Если главный определитель системы не равен нулю, то выполняют пункт Д, иначе рассматривают вопрос о разрешимости данной системы (имеет бесчисленное множество решений или не имеет решений). Д) Находят значения всех неизвестных по формулам Крамера для решения системы n линейных уравнений с n неизвестными, которые имеют вид: