27. Задачи идентификации в моделировании. Условия идентификации

Задача идентификации: по заданному входному воздействию и выходному сигналу найти оператор системы: вход-(?)оператор-выход

Идентификация - построение модели объекта или системы на основе экспериментального исследования. Для физич объекта м.б. построено много разных, но эквивалентных моделей. Задача идентификации состоит в отыскании оптимальной в соответствии с выбранным критерием модели.

Модель линейной системы имеет вид dx/dt=Ax. Пусть выполнены исследования по модели в момент времени t=kτ, k=0,1…m;

В соответствии с формулой Коши: x(τ)=e^Aτx(0)

x(2τ)=e^Aτx(τ)

…

x(mτ)=e^Aτx((m-1)τ)

Это отношение можно переписать в виде

[x(τ)x(2τ)…x(mτ)]=e^Aτ[x(0)x(t)…x((m-1)τ)]

Обозначим через L(τ) и k(τ) матрицы левой и правой частей L(τ)= e^Aτk(τ)

e^Aτ=L(τ)k^-1(τ) Значит матрица e^Aτ может быть найдена по (m+1) изменению вектора x. Это св-во модели - идентифицируемость.

28. Параметрическая идентификация

Задача идентификации: по заданному входному воздействию и выходному сигналу найти оператор системы: вход-(?)оператор-выход. Цель идентификации объекта — определение вида оператора связывающего входной сигнал x(t) с выходным сигналом на интервале времени. Следует подобрать такой оператор модели, при котором ее выходные сигналы были максимально приближены к сигналам на выходе реального объекта или системы.

При экспериментальном подходе осуществляют подбор адекватной структуры модели и выбор входного воздействия x(t) так, чтобы по результатам эксперимента можно было найти оценки всех параметров модели. Отсюда, идентификацией динамического объекта - процедура определения структуры и параметров его модели, которые при одинаковых входных сигналах для модели и объекта обеспечивают близость выхода модели к выходу объекта при наличии определенного критерия качества. При этом критериями близости выходных сигналов модели и объекта могут быть: среднеквадратичная, абсолютная, относительная погрешности, максимум правдоподобия и др. Параметрическая идентификация модели по этим критериям осуществляется с помощью методов поиска экстремума, основными из которых являются: метод Ньютона-Канторовича; градиентный метод; метод случайного поиска и др. Часто исп рекуррентный метод наименьших квадратов. Определение параметров можно свести к задаче параметрической оптимизации – минимизации ошибки моделирования.

Пример: Динамика технического объекта описывается дифуром 2-го порядка.

Пусть по данным эксперимента известны функции u1(t) – внешнего воздействия и x1(t) – выходного сигнала на интервале времени [0,τ].

Ошибка моделирования определяется как функция параметров a,b,c.

Здесь x(t,a,b,c) – решение дифура.

Для реализации численных методов

вводится дискретное время:

t_K=kΔt k=0,1,…,n; n= τ/Δt Тогда диф. оператор можно заменить конечными разностями, интегральный – кон. суммами и min полученную Σ по параметрам.

29. Идентификация во временной области

Если из результатов эксперимента известно 2 ф-ции u(t) и x(t), то в задачу идентификации входит восстановление диф или интегр оператора связи между этими функцими.