3. Уравнение д. Бернулли

3.1. Уравнение д. Бернулли без учета потерь энергии

Уравнение Д. Бернулли для потока невязкой жидкости (без учета потерь энергии), составленное в отношении произвольно выбранной плоскости сравнения, имеет следующий вид:

Левая часть уравнения представляет собой сумму двух видов энергии: потенциальной, состоящей из энергии положения и энергии давления , и кинетической энергии , отнесенных к единице веса движущейся жидкости. Коэффициент кинетической энергии по­тока , входящий в уравнение Д. Бернулли при движении невязкой жид­кости, может быть принят равным единице.

Многие практические задачи, связанные с установившимся дви­жением жидкости, решаются совместным применением уравнения Д. Бернулли и уравнения неразрывности (сплошности) потока.

Уравнение неразрывности может быть записано в следующем виде:

откуда

где V₁ и V₂ — средние скорости в сечениях потока;

и — соответствующие площади живых сечений.

Примеры

3.1. Определить расход воды в трубе диаметром , имеющей плавное сужение до диаметра , если показания пьезометров: до сужения ; в сужении . Температура воды .

Решение. Составим уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2, принимая за плоскость сравнения ось трубы:

.

Учитывая, что , пренебрегая потерями напора, т. е. принимая , и полагая,получим:

.

Из уравнения неразрывности расхода имеем:

.

Поскольку

; ,

находим:

.

Обозначим

.

Тогда уравнение Бернулли запишется в виде

,

откуда найдем скорость в сечении 1-1:

.

Расход воды в трубе

,

где μ – коэффициент, учитывающий уменьшение расхода вследствие потерь напора; в первом приближении принимаем μ=0,98; тогда расход будет

.

Коэффициент μ зависит от отношения диаметров и числа Рейнольдса:

;

.

Найдем скорость в сужении трубы

.

Кинематическую вязкость воды примем: (табл. П-12).

С учётом полученных данных найдем число Рейнольдса

.

По табл. П-25 находим μ =0,98. Следовательно, в первом приближении значение μ принято верно.

Искомый расход .

Замечание: Рассмотренное сужение трубы с плавными переходами от большего диаметра к малому и от малого к большому называется водомером Вентури.

Ответ: .

3.2. Определить, на какую высоту поднимается вода в трубке, один конец которой присоединён к суженному сечению трубопровода, а другой конец опущен в воду. Расход воды в трубе , избыточное давление , диаметры и .

Решение. Уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 относительно оси трубы (потерями напора пренебрегаем) имеет вид (при )

.

Учитывая, что скорости в сечениях 1-1 и 2-2 находятся так

и ,

то после преобразований получим:

Полученная отрицательная высота – вакуумметрическая высота. На эту высоту и поднимается вода в трубке.

Ответ: .

3.3. Определить критическую скорость, отвечающую переходу от ламинарного режима к турбулентному, в трубе диаметром d = 0,03 м при движении воды и воздуха при температуре 25˚C и глицерина при температуре 20˚C.

Решение. Из формулы для критического числа Рейнольдса имеем:

.

Для воды

.

Для воздуха

.

Для глицерина

.

3.4. Определить давление р₁ в сечении 1-1 горизонтально рас­положенного сопла гидромонитора, необходимое для прида­ния скорости воде V₂ = 40 м/с в выходном сечении 2-2, если скорость движения воды в сечении 1-1 V₁ = 3 м/с.

Решение. Данная задача может быть решена при помощи уравнения Д. Бернулли и уравнения неразрывности.

При составлении уравнения Д. Бернулли следует выбрать два сечения в рассматриваемом потоке и плоскость сравнения, по отношению к которой записывается уравнение для двух выбранных сечений. Эти сечения и плоскость сравнения выбираются так, чтобы наибольшее количество величин, входящих в уравнение, были известными, а в уравнение входили искомые величины.

При решении данной задачи удобно использовать сечения 1 — 1 и 2 — 2, поскольку скорости в этих сечениях заданы, давление p₁ подлежит определению, а давление р₂ в сечении на выходе из гидромонитора равно атмосферному. Плоскость сравнения следует провести через ось сопла, тогда удельные энергии положения z₁ = z₂ = 0 и уравнение Д. Бернулли будет иметь следующий вид:

откуда.

Ответ: .

3.5. Определить диаметр d суженной части горизонтального тру­бопровода, при котором вода поднимается на высоту h = 3,5 м при расходе

Q = 6 л/с и диаметре D = 10 см.

Решение. Плоскость сравнения совместим с осью трубы. Выбрав сечения 1 — 1 и 2 — 2 и составив уравнение Д. Бернулли, получим:

Так как плоскость сравнения проведена по оси трубы, то z₁ = z₂ = 0, и тогда

Для того чтобы вода поднялась на высоту 3,5 м, необходимо, чтобы удельная энергия давления в сечении 1 — 1 была равна , откуда .

Так как истечение происходит в атмосферу, то давление р₂ равно атмосферному, т.е.

Следовательно,

Для определения диаметра суженной части воспользуемся уравнением неразрывности движения , где

и .

Подставив в уравнение найденные величины, получим

откуда искомый диаметр

Ответ: .

3.6. Определить расход воды в горизонтальном трубопроводе пере­менного сечения, скорость на каждом из участков и по­строить пьезометрическую линию, если H = 5 м, d₁ = 15 мм, d₂ = 20 мм и d₃ = 10 мм.

Решение. Уравнение Д. Бернулли для сечений 0 — 0 и 3 — 3 при совмещении плоскости сравнения с осью трубы будет иметь вид

В данном случае = H, = 0. В связи с тем, что в сечениях 0—0 и 3—3 давление равно атмосферному, то . Учитывая, что H = const, а скорость в сечении 0—0 V₀ = 0, скорость в выходном сечении 3 — 3 определится из зависимости

откуда

Расход воды в трубопроводе

Скорость в сечении 1 — 1

Скорость в сечении 2 — 2

Пьезометрическую линию строят, исходя из следующих положений. Поскольку задача решается без учета потерь энергии, то напорная линия (линия полной энергии) будет представлять собой горизонтальную прямую, являющуюся продолжением свободной поверхности воды в сечении 0 — 0. Пьезометрическая линия расположится ниже напорной линии на величину в каждом сечении. Таким образом, отложив вниз от напорной линии величины в сечениях, соответствующих изменению диаметра трубопровода, получим ряд точек, соединив которые построим пьезомет­рическую линию (см. рис). При этом:

Ответ: .