
- •«Самарский государственный
- •Архитектурно-строительный университет»
- •Е. А. Крестин
- •Примеры решения задач
- •По гидравлике
- •Самара 2006
- •Введение
- •Основные буквенные обозначения, принятые в курсе гидравлики
- •1. Физические свойства жидкости
- •Примеры
- •2. Гидростатика
- •2.1. Гидростатическое давление
- •Примеры
- •2.2. Сила гидростатического давления на плоскую поверхность
- •Примеры
- •2.3. Сила гидростатического давления на криволинейную поверхность
- •Примеры
- •2.4. Плавание тел
- •Примеры
- •3. Уравнение д. Бернулли
- •3.1. Уравнение д. Бернулли без учета потерь энергии
- •Примеры
- •3.2. Уравнение д. Бернулли с учетом потерь энергии
- •Примеры
- •4.Истечение жидкости из отверстий и насадков
- •4.1. Истечение жидкости из отверстий
- •4.2 Истечение жидкости из насадков
- •Примеры
- •Приложение. Справочные данные
- •Соотношение единиц, подлежащих изъятию, с единицами си
- •Основные данные для расчета местных сопротивлений
- •Библиографический список
- •Содержание
Примеры
4.1.
Через цилиндрический насадок, расположенный
в стенке, расходуется вода в количестве
л/с. Диаметр насадка
см, длина
см. Определить напор H
над центром насадка, скорость
и давление
в насадке (в сжатом сечении).
Решение.
Длина насадка
см
,
следовательно, можно принять коэффициент
расхода μ=0,82. При d=3,8
см
площадь
см2.
Напор над центром насадка найдем из
формулы
Скорость в выходном сечении насадка составит
Из условия
неразрывности
определим скорость в сжатом сечении,
полагая
,
Для определения
давления
составим уравнение Бернулли для двух
сечений О-О
и С-С при
плоскости сравнения, проходящей через
ось насадка
,
Так как между
сечениями будут потери только на
сопротивление тонкой стенки, то
.
Полагая
,
имеем
.
Подставляя численные
значения, получим высоту давления
:
Давление
Недостаток до атмосферного давления в сжатом сечении
Высота вакуума, выраженная в метрах водяного столба,
Такой же результат получим, применив формулу
Ответ:
4.2. Резервуар
разделен на три отсека перегородками,
в которых имеются отверстия: в первой
перегородке прямоугольное с площадью
см2,
во второй перегородке – квадратное,
примыкающее одной стороной а=4
см
к дну. В наружной стенке отверстие
круглое d=3,0
см.
Разность между отметкой уровня воды в
первом отсеке и отметкой центра наружного
отверстия H
= 3,10 м.
Определить расход
воды из резервуара и напоры
,
и
при установившемся движении в двух
расчетных случаях:
-
при истечении воды из наружного отверстия в атмосферу;
-
в случае если к наружному отверстию присоединен цилиндрический насадок.
Решение. 1) Согласно условию сумма напоров
,
причем любой из
этих напоров
,
определяется формулой
.
Подставляя выражение
в исходное уравнение, получим:
.
Прямоугольное и
круглое отверстия полагаем находящимся
в условиях полного совершенного сжатия,
поэтому считаем
.
Для квадратного отверстия, расположенного
у дна, коэффициент расхода определим
по формуле
Подставляя числовые
значения
,
,
H,
определим расход по формуле
По найденному расходу вычислим напоры
;
;
.
Проверка дает
.
2) Если к выходному
отверстию присоединим насадок, то
некоторый период времени движение в
отсеках будет неустановившимся. Через
насадок пойдет большой расход (по
сравнению с расходом через отверстие),
но напор
будет падать, так как для пропуска
большего расхода должны увеличиться
напоры
и
.
После того, как
движение примет установившейся характер,
будет применимо уравнение для расхода,
из которого определим, полагая
,
расход
и напоры
;
;
.
При этом, как и в первом случае,
.
Ответ: 1)
2)
4.3. Определить
расход из резервуара через два
цилиндрических насадка и величину
вакуума в них. Один насадок расположен
горизонтально в боковой стенке резервуара
на расстоянии
см
от дна, другой – вертикально в дне
резервуара. Размеры насадков одинаковы:
см,
см.
Глубина воды в резервуаре
см.
Решение. 1) Напор над центром горизонтального насадка
.
Пренебрегая
скоростью подхода, так как размеры
резервуара достаточно велики, примем
.
Расход из горизонтального насадка
.
Вакуум в сжатом сечении горизонтального насадка
.
2) Расход через
насадок, расположенный в дне резервуара,
соответствует напору
.
Скоростью подхода, как и в первом случае,
пренебрегаем
Расход
из резервуара через оба насадка будет
.
Для определения
вакуума в сечении
составим уравнение Бернулли для сечений
1-1
и
,
взяв плоскость сравнения на уровне
,
.
Отсюда, принимая потери на сопротивление тонкой стенки, получим выражение высоты вакуума
или
.
Полагая
и
,
получим:
.
Подставляя числовые значения величин
,
,
,
,
~
0 и принимая а
~
,
будем иметь:
,
или
.
Для условий задачи величина вакуума в вертикальном насадке будет
.
Ответ:
;
;
.
4.4. Из
резервуара с площадью поперечного
сечения
через отверстие в стенке вода поступает
в смежный резервуар, имеющий площадь
.
Отверстие
расположено на высоте
от дна. Через какое время t
после открытия отверстия из первого
резервуара во второй вытечет вода в
количестве
,
если в момент открытия отверстия глубина
в первом резервуаре была
,
а второй был пуст. Притока в резервуары
извне нет.
Решение.
Время t
будет состоять из двух периодов:
а) истечение при переменном напоре в атмосферу за время наполнения второго резервуара до центра отверстия;
б) истечения при переменном напоре под переменный уровень.
Объем во втором резервуаре от дна до отметки центра отверстия
.
При вытекании во
второй резервуар количества воды в
объеме
уровень воды в первом резервуаре
понизиться на
.
Время
уменьшения напора от
до
будет найдено по формуле
.
По условию во второй резервуар ещё должно поступить количество воды
.
При вытекании
воды уровень в первом резервуаре
понизиться на
.
Одновременно уровень воды во втором резервуаре повыситься на
.
Изменение напора
будет от
до
.
Время
на этот процесс определиться по формуле
.
Суммарное искомое время будет
.
Ответ:
.
4.5. Цилиндрический
бак с площадью
и высотой
,
заполненный до краев водой, нужно
опорожнить за время
.
Определить необходимую для этого площадь двух одинаковых отверстий, одно из которых расположено в центре дна, другое в стенке, на половине высоты бака.
Решение. Опорожнение верхней половины бака будет определяться дифференциальным уравнением
,
отсюда
.
Освобождаясь от иррациональностей в знаменателе и подставляя пределы при опорожнение верхней половины резервуара, получим
.
Вводя переменную
,
пределы которой будут от
до
,
перепишем уравнение:
.
В результате интегрирования получим
.
Опорожнение нижней половины бака определиться по формуле
.
По условию задачи
.
Подставляя числовые значения, получим:
,
отсюда
.
Ответ:
.
4.6. Цилиндрический
резервуар имеет площадь поперечного
сечения
.
В его стенке на расстоянии
от дна расположено круглое отверстие
см.
Постоянный приток воды в резервуар
Определить глубину воды
в резервуаре через 20 мин
после открытия отверстия, если в момент
его открытия глубина равнялась
.
Решение.
Расход через отверстие при напоре
и
будет
.
Так как начальный расход
меньше притока
,
то напор над отверстием увеличивается.
Сначала определим напор
,
при котором приток
и расход из отверстия будут одинаковы.
Из формулы найдем напор
.
Изменение напора
от
до
в цилиндрическом резервуаре при наличии
притока
за время
определяется формулой.
или, упрощая
уравнение (и полагая
),
получим:
.
Из этого уравнения
подбором определим
.
Следовательно, через
после открытия отверстия глубина в
резервуаре будет
.
Ответ:
.
4.7.
Щитовое
отверстие имеет ширину
и высоту
.
Щит приподнимается равномерно со
скоростью
.
Определить объем воды
,
вытекающий за время
полного открытия отверстия. Напор над
центром отверстия
.
Истечение свободное. Коэффициент расхода
отверстия
.
Решение.
Объем воды, вытекающий из отверстия за
время
.
Расход из отверстия
,
где
и
- переменные, определяемые скоростью и
временем открытия,
и
.
Тогда
.
Полный объем за время открытия щита
.
Для решения интеграла введем подстановку
При этом пределы
переменной y
будут от H
до
.
.
Решение интеграла дает
.
Подставляя числовые
значения в решение, получим объем
.
Ответ:
.
4.8. В верхний сосуд поступает вода с расходом Q = 0,25 л/с, которая затем перетекает через малое от верстие в дне диаметром d1= 10мм в нижний сосуд, имеющий также малое отверстие в дне диаметром d2 = 15 мм.
Определить:
а) напоры Н1 и Н2 в обоих сосудах;
б) при каком диаметре d2 напор Н2 будет вдвое меньше, чем Н1.
Решение.
а) Определим в обоих сосудах напоры Н
1 и
Н2,
при которых расходы Q1
и
Q2
станут
равными притоку воды Q
= 0,25 л/с.
Расход
откуда
см =1,35 м;
см
=0,27 м;
б) Находим диаметр
d2,
при котором
см
= 0,675 м.
Из формулы
определяем
см2
Тогда
Ответ: d=0,012 м.
4.9. Открытый понтон, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с шириной В = 2 м; длиной L = 5 м; высотой Н = 0,5 м и весом G = 1000 кг получил в дне пробоину диаметром d. Считая пробоину затопленным отверстием в тонкой стенке, определить время, в течение которого понтон затонет, если d = 15 мм:
Решение. 1) Определим осадку понтона до получения пробоины:
2) Найдем расход воды через пробоину при напоре h:
3) Найдем увеличение глубины воды в понтоне в результате притока за секунду
4) Определим осадку понтона от поступающей в него воды за секунду
Как видим,
.
Значит, напор над пробоиной
остается
постоянным в течение всего времени
погружения понтона.
5) Понтон затонет,
когда его вес станет равным
или когда в него поступит объем воды
,
откуда время от момента получения
пробоины до затопления понтона
с
= 7 ч
30 мин.
Ответ: 7 ч 30 мин.
4.10. Из закрытого сосуда диаметром D = 0,5 м, в верхнюю крышку которого вставлена открытая трубка, вода вытекает в атмосферу через малое отверстие в дне диаметром d = 15 мм.
Определить время опорожнения сосуда при Н = 1,2 м и h = 0,5 м.
Решение.1)
При опорожнении сосуда в силу закона
Бойля — Мариотта давление на его
поверхности уменьшается, вследствие
чего в открытой трубке уровень воды
быстро понизится до положения 1
- 1.
С этого момента воздух через трубку
будет прорываться в верхнюю часть
сосуда. Так как во всех точках горизонтальной
плоскости 1
- 1
давление одинаково, то давление
будет оставаться постоянным и равным
атмосферному давлению.
2) Исходя из этого, найдем сначала время, за которое вытечет объем воды, находящийся выше уровня 1 - 1
м3;
= 0,000344 м3/с;
с.
3) Время, за которое вытечет оставшийся объем воды
м3,
найдем по формуле
4) Полное время опорожнения сосуда
с = 16
мин 10
с.
Ответ: t =16 мин 10 с.
4.11. Цилиндрическая бочка радиусом R = 0,3 м и высотой h = 1 м залита водой , давление на свободной поверхности которой равно атмосферному. Определить время опорожнения бочки через отверстие диаметром d = 2 см в боковой стенке при горизонтальном положении.
Решение. 1) Составим дифференциальное уравнение опорожнения непризматического сосуда, для чего рассмотрим этот процесс в течение бесконечно малого отрезка времени dt, за который площадь зеркала воды в бочке и напор z над отверстием меняются весьма незначительно. Пусть за время dt уровень воды в бочке опустился на величину dz. Тогда объем вытекшей воды за отрезок времени dt
где dz — отрицательная величина, так как изменение напора z происходит против положительного направления оси OZ. Кроме того, элементарный объем равен
где — площадь отверстия.
Приравнивая правые части выражений для dW, получаем дифференциальное уравнение
интегрируя которое, можем найти время опорожнения бочки.
2) Найдем площадь зеркала воды в бочке как функцию z:
3) Подставляя
значение
в дифференциальное уравнение и
интегрируя от 2r
до 0, получаем
с
= 12 мин.
Ответ: t = 720 с.
4.12. Вода расходом Q = 15 л/с поступает в бак, разделенный на два отсека перегородкой толщиной 30 мм, в которой просверлено четыре ряда отверстий диаметром d1= 10 мм, причем расстояние между центрами отверстий в ряду и между рядами отверстий а = 50 мм. Из второго отсека вода вытекает через внешний конический насадок диаметром d2 = 80 мм. Определить глубину H1 и H2 в обоих отсеках, если в одном ряду 48 отверстий.
Решение. 1) Глубину Н2 во втором отсеке найдем из условия, что заданный расход Q = 15 л/с проходит через отверстия в перегородке и через конический насадок:
откуда
2) Для определения H1 воспользуемся формулой для расхода через затопленное отверстие, в которой H = =Н1 - H2; считая, что при а = 50 мм все отверстия в перегородке работают как внешние цилиндрические насадки независимо друг от друга, имеем
где n
= 48
4 = 192 — количество отверстий в перегородке.
Отсюда получаем
Ответ: