14 Проекция вектора на ось

Пусть  --- ось и  --- некоторый вектор. Обозначим через  и  параллельные проекции точек  и  на прямую . Определение 14.1. Проекцией вектора  на ось  называется величина  направленного отрезка  на оси. Замечание 14.1. Согласно определению 11.1. проекция вектора на ось --- это число, равное длине отрезка , взятое с определенным знаком. Проекцию вектора  на ось  будем обозначать через . В случае ортогонального проектирования применяется обозначение . Отметим, что ортогональное проектирование есть частный случай параллельного, поэтому для него выполняются все свойства параллельного проектирования, но не наоборот. Кроме того отметим, что проекцию вектора мы определили через проекцию его представителя, поэтому необходимо доказать, что это определение не зависит от выбора представителя. Это доказательство отнесем к свойствам проекций векторов на ось. Свойства проекций векторов на ось. 1. Проекции равных векторов равны.( более точно, проекции эквиполентных направленных отрезков равны) Доказательство. Пусть . Обозначим через:  проекции точек  . Так как , то середины отрезков  и  совпадают и, кроме того, при параллельном проектировании середина отрезка проектируется в середину его проекции, следовательно середина отрезка  совпадает с серединой отрезка , значит, . 2. Проекция суммы векторов на ось есть сумма проекций слагаемых векторов, т.е.

Доказательство. Пусть  тогда . Обозначим через:  проекции точек . Используя основное тождество (см. теорему 12.1.) для точек  оси, получим

.

Для завершения доказательства достаточно заметить, что . 3. Для ортогональной проекции

где  --- угол между вектором  и осью. Доказательство. Пусть . Так как проекции равных векторов равны между собой, то можно считать, что вектор  отложен от точки  оси . Обозначим через  проекцию точки  на ось. Если вектор  ненулевой и угол  --- острый, то (см. рис. 1)

Если же вектор  ненулевой и угол  --- тупой, то (см. рис. 2)

В случае когда вектор  или он перпендикулярен оси, формула  очевидна.

15 Скалярное произведение векторов

Определение 15.1. Скалярным произведением двух векторов  и  называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение будем обозначать  или просто . По определению имеем

где  --- угол между векторами  и . Перечислим основные свойства скалярного произведения, разделив их на свойства алгебраические и геометрические. Алгебраические свойства.

1. Для любых векторов  и 

т.е. скалярное произведение векторов обладает свойством коммутативности. Это свойство непосредственно следует из определения скалярного произведения.

2. Для любого числа  и любых векторов  и 

т.е. скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения. Доказательство. Обозначим через  угол между вектором  и . Если число  и векторы ненулевые, то  и мы получаем (см.рис. 1)

Если число  и векторы ненулевые, то  и мы получаем (см.рис. 2)

Наконец, если число  или один из векторов нулевой, то доказываемое равенство очевидно.

3. Для любых векторов  и 

Доказательство. Обозначим через  угол между вектором  и , через  угол между вектором  и , через  угол между вектором  и . По определению получаем

Учитывая формулу  и свойство 2. проекций векторов, имеем

Геометрические свойства.

4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, т.е.

В частности,  тогда и только тогда, когда вектор  нулевой.

Следует из определения скалярного произведения векторов и того факта, что .

5. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они перпендикулярны или хотя бы один из них нулевой.

Доказательство. Действительно

 или  или  или  или .

6. Скалярное произведение двух ненулевых векторов положительно (отрицательно) тогда и только тогда, когда угол между ними острый (тупой). Доказательство. Действительно знак скалярного произведения ненулевых векторов, согласно определению, совпадает со знаком косинуса угла между ними.