12 Величины направленных отрезков на оси

Определение 12.1. Прямую линию с указанным на ней направлением будем называть осью. Замечание 12.1. В данном определении молчаливо предполагается, что выбран некоторый масштабный отрезок для измерения длин. Дадим определение величины направленного отрезка на оси. Определение 12.2. Величиной  направленного отрезка  на оси называется число, равное длине отрезка , взятой со знаком плюс, если направление совпадает с направлением оси, и со знаком минус, если направление  противоположно направлению оси. Величины всех нулевых направленных отрезков на оси считаются равными нулю. ТЕОРЕМА 12.1. (основное тождество для точек оси) Если  --- три любые точки оси, то

 

Доказательство. Предположим, что точки  попарно различны. Если точка  лежит между точками  и , то ; но в этом случае направленные отрезки ,  и  имеют одинаковое направление, следовательно числа ,  и  имеют один знак, а потому . Если точка  лежит между  и , то по доказанному поскольку . Аналогично рассматриваются оставшиеся случаи.

13 Основные виды параллельного проектирования

В геометрии рассматриваются следующие три вида параллельного проектирования. 1.Проекция точек плоскости на прямую  параллельно прямой . Пусть на плоскости заданы две пересекающиеся в точке  прямые  и . Если точка  плоскости не лежит на прямой , то проекцией точки  на прямую  параллельно прямой  называется точка  пересечения прямой  с прямой, проходящей через точку  параллельно прямой . Если же точка  лежит на прямой , то ее проекцией на прямую  параллельно прямой  называют точку . Если прямые  и  взаимно перпендикулярны, то рассмотренный вид проектирования оказывается ортогональным проектированием на прямую . Итак: Ортогональной проекцией  точки  плоскости на прямую , лежащую в этой плоскости, называется точка пересечения прямой  с прямой, проходящей через точку  перпендикулярно прямой . 2. Проекция точек пространства на плоскость  параллельно прямой . Пусть в пространстве задана плоскость  и пересекающая ее в точке  прямая . Если точка  пространства не лежит на прямой , то проекцией  ее на плоскость , параллельно прямой  называется точка пересечения плоскости  с прямой, проходящей через точку  параллельно прямой . Если же точка лежит на прямой , то ее проекцией на плоскость  параллельно прямой  называют точку . Если прямая  перпендикулярна плоскости , то рассматриваемый вид проектирования оказывается ортогональным. Итак: ортогональной проекцией  точки  на плоскость  называется точка пересечения плоскости  с прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости . 3. Проекция точек пространства на прямую  параллельно плоскости . Пусть в пространстве задана плоскость  и пересекающая ее в точке  прямая . Если точка  пространства не лежит на плоскости , то ее проекцией на прямую  параллельно плоскости  называется точка  пересечения прямой  с плоскостью, проходящей через точку  параллельно плоскости . Если же точка  лежит на плоскости , то ее проекцией на прямую  параллельно плоскости  называют точку . Если прямая  перпендикулярна плоскости , то проектирование оказывает Таким образом, ортогональной проекцией точки  на прямую  называется точка  пересечения прямой  с плоскостью, проходящей через точку перпендикулярно прямой . Отметим в заключение, что ортогональное проектирование точки  на прямую в пространстве можно определить и так: ортогональной проекцией точки  на прямую  называется точка  пересечения прямой  с прямой, проходящей через точку  и пересекающую прямую под прямым углом. Нетрудно убедиться в том, что при любом из рассмотренных видов параллельного проектирования отрезок проектируется в отрезок, причем, середина отрезка проектируется в середину.