11 Векторные подпространства

Определение 11.1. Пусть  --- непустое множество векторов из векторного пространства . Множество  называется векторным подпространством пространства , если выполнены следующие два условия: 1. Если  и , то . 2. Если , то  для любого вещественного числа . По аналогии с пространством  введем понятие базиса подпространства . Базисом векторного подпространства  называется такая упорядоченная система линейно независимых векторов из , что любой вектор подпространства  является линейной комбинацией данной системы векторов. Можно доказать, что все базисы подпространства  состоят из одного и того же числа векторов. Это число называется размерностью векторного подпространства. Пусть теперь имеем дело с пространством . Так как , а в  любая система, состоящая более чем из трех векторов линейно зависима, то размерность любого подпространства пространства  не больше, чем три. Рассмотрим примеры векторных подпространств пространства  и выясним их геометрический смысл. 1. Возьмем два неколлинеарных вектора  и  пространства  и рассмотрим множество всех векторов вида:

,

где  --- произвольные действительные числа. Это множество, как нетрудно проверить, удовлетворяет обоим условиям определения векторного подпространства, поэтому является подпространством пространства . Оно называется подпространством натянутым на векторы  и , и обозначается . Пусть  --- плоскость, которой параллельны векторы  и . Докажем, что  --- множество тех и только тех векторов пространства , которые параллельны плоскости . Действительно, при любых значениях  и векторы  и  линейно зависимы, поэтому они компланарны, то есть вектор  параллелен плоскости . Обратно, любой вектор , параллельный плоскости , компланарен с векторами  и , поэтому является линейной комбинацией векторов  и , то есть принадлежит множеству . Векторы  и  образуют базис подпространства . В самом деле, эти векторы линейно независимы по следствию 9.1., и любой вектор подпространства  является линейной комбинацией векторов  и  по построению этого множества. Таким образом, множество всех векторов, параллельных некоторой плоскости, является двумерным векторным подпространством пространства . Еще раз отметим, что базисом такого подпространства является любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов. 2. Возьмем ненулевой вектор  пространства  и рассмотрим множество всех векторов вида:

,

где  --- произвольное действительное число. Это множество является векторным подпространством пространства . Обозначим его через . Пусть  --- прямая, которой параллелен вектор . Аналогично примеру 1 можно доказать, что  --- множество всех тех и только тех векторов пространства , которые параллельны прямой . Вектор  является базисом подпространства , поэтому  --- одномерное векторное подпространство. Таким образом, множество всех векторов, параллельных некоторой прямой, является одномерным векторным подпространством пространства . 3. Рассмотрим множество, состоящее только из одного нулевого вектора. Оно удовлетворяет обоим условиям определения векторного подпространства, поэтому является подпространством пространства . Оно называется нулевым или тривиальным векторным подпространством. Принято считать, что размерность этого подпространства равна нулю.