9 Геометрический смысл линейной зависимости векторов.

В этом параграфе докажем теоремы, раскрывающие геометрический смысл линейной зависимости векторов пространства . ТЕОРЕМА 9.1. Два вектора  линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Доказательство. Пусть  --- линейно зависимы. Тогда по свойству 2. линейной зависимости хотя бы один из них является линейной комбинацией других, т.е. . Но по теореме 6.1. в этом случае векторы  и  коллинеарны. Обратно, пусть векторы  и  коллинеарны. Тогда если хотя бы один из них нулевой, то они линейно зависимы по свойству 1., если же они ненулевые, то по теореме 6.1. . Следовательно, они линейно зависимы по свойству 2. Следствие 9.1. Любые два неколлинеарных вектора линейно независимы. ТЕОРЕМА 9.2. Векторы  линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны. Доказательство. Пусть  --- линейно зависимы по свойству 2., например, , а тогда по теореме 7.1. они компланарны. Обратно, пусть  --- компланарны. Возможны следующие случаи: a). Если какие-нибудь два из них коллинеарны, например,  и , то система векторов  - линейно зависима по теореме 9.1. Но тогда по свойству 3. система векторов  также линейно зависима. b). Если любые два вектора неколлинеарны, тогда по теореме 7.1 , следовательно, они линейно зависимы по свойству 2. Следствие 9.2. Любые три некомпланарных вектора линейно независимы. ТЕОРЕМА 9.3. Любая система, состоящая более чем из трех векторов, линейно зависима. Доказательство. С учетом свойства 2. достаточно рассмотреть систему, состоящую из четырех векторов . Возможны следующие случаи: a). Если какие-нибудь три из них компланарны по теореме 9.2. они линейно зависимы, а тогда по свойству 3.  --- линейно зависимы. b). Если любые три вектора некомпланарны, тогда по теореме 7.2. , следовательно, они линейно зависимы по свойству 2.

10 Базис векторного пространства. Координаты вектора.

Определение 10.1. Базисом векторного пространства  называется такая упорядоченная система векторов , которая удовлетворяет следующим требованиям: 1. Система данных векторов линейно независима. 2. Любой вектор пространства  является линейной комбинацией данной системы векторов, т.е.

Нетрудно видеть, что представление вектора  в виде линейной комбинации векторов базиса однозначно. В самом деле, если предположить, что существует еще разложение , то получим равенство Поскольку система векторов  линейно независима, то все числа . Определение 10.2. Коэффициенты разложения  называются координатами вектора  в базисе . В этом случае мы будем писать . Рассмотрим теперь векторное пространство . Докажем несколько теорем о базисе пространства . ТЕОРЕМА 10.1. Любая упорядоченная система трех некомпланарных векторов пространства  является его базисом. Доказательство. По следствию 9.2. такая система векторов линейно независима, а по теореме 7.2. любой вектор пространства  является линейной комбинацией трех некомпланарных векторов. ТЕОРЕМА 10.2. Любой базис пространства состоит из трех векторов. Доказательство. Пусть  --- базис пространства . Он не может содержать более трех векторов по теореме 9.3., так как векторы будут линейно зависимы. Однако он не может содержать менее трех векторов. Если  содержит два вектора , а вектор  такой, что  --- некомпланарны, то по следствию 9.2.  не может быть разложен по векторам  и . Тем более один вектор не может служить базисом пространства . Определение 10.3. Число векторов в любом базисе называется размерностью векторного пространства. Таким образом, размерность векторного пространства  равна трем. Обозначение: . Различают два вида базисов. 1. Аффинный --- базисные векторы имеют произвольную длину и углы между ними любые. Произвольный аффинный базис мы будем обозначать . 2. Ортонормированный или декартов базис, частный случай аффинного базиса. Этот базис будем обозначать , базисные векторы этого базиса единичные и взаимно перпендикулярные  Замечание 10.1. Поскольку ортонормированный базис есть частный случай аффинного, то всё, что доказано для аффинных базисов справедливо и для ортонормированных, но не наоборот. Свойства координат вектора. ТЕОРЕМА 10.3. Пусть  --- базис пространства  и пусть в этом базисе векторы . Тогда для любых действительных чисел  вектор

в базисе . Доказательство. По определению координат вектора имеем: Поэтому вектор  Используя свойства операций умножения вектора на число и сложения векторов, раскроем скобки и получим Последнее равенство по определению означает, что  в базисе . Из теоремы 10.3. получаем следующие следствия. Следствие 10.1. Любая координата суммы (разности) векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов. Следствие 10.2. При умножении вектора на число каждая координата умножается на это число. Следствие 10.3. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны.