3 Сложение векторов

Определение 3.1. Суммой двух векторов  и  называется вектор  , где  ,  ,  — произвольная точка,  — точки, полученные после откладывания векторов  и  .

Покажем, что сумма векторов не зависит от выбора точки . Действительно, пусть  --- любая точка, отличная от точки . Строим векторы . Докажем, что . Так как  и , то по лемме 2.1.  и , то есть . Следовательно, по той же лемме . Замечание 3.1. Для нахождения суммы неколлинеарных векторов приходится строить треугольник . Поэтому правило сложения векторов называется правилом треугольника. Из этого правила следует, что для любых трех точек  справедливо равенство

В частности, это правило справедливо и для коллинеарных точек.

Свойства сложения векторов.

ТЕОРЕМА 3.1. Для произвольных векторов  справедливы следующие равенства: 1.  --- коммутативность сложения векторов. 2.  --- ассоциативность сложения векторов. 3. . 4. . Доказательство. 1. Пусть  и  --- произвольные векторы. От какой-нибудь точки  отложим векторы , а затем от точки  отложим вектор . Согласно построению , поэтому по лемме 2.1. получаем , т.е. . По правилу треугольника  и , следовательно, . Отсюда получаем, что . 2. Пусть  и  --- произвольные векторы. Возьмем какую-нибудь точку  и отложим последовательно векторы .  По правилу треугольника , поэтому . С другой стороны , поэтому . Отсюда получаем требуемое. 3. Применим правило  к точкам  получим . Значит, . 4. Применим правило  к точкам  получим  . Значит, . Замечание 3.2. 1. Суммой векторов  и  будем считать вектор . На основании доказанной теоремы , поэтому при записи суммы трех векторов можно опустить скобки и писать просто . Более того, можно доказать, что сумма трех векторов не зависит от порядка слагаемых. В самом деле, докажем, например, что : . 2. Аналогично можно определить сумму  векторов, где . Пусть  --- произвольные векторы. Их суммой называется вектор , и обозначается так: .  Из второго свойства можно получить правило многоугольника для нахождения суммы любого конечного числа векторов. Оно таково: Суммой конечного числа векторов называется вектор, идущий из начала первого в конец последнего, при условии, что каждый последующий вектор отложен из конца предыдущего. Нетрудно убедиться в том, что сумма  векторов не зависит от порядка слагаемых. 3. Для неколлинеарных векторов при их сложении можно пользоваться правилом параллелограмма: Суммой двух неколлинеарных векторов является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах, при условии, что начало искомого вектора совпадает с началом данных векторов.

4 Разность векторов.

Определение 4.1. Разностью векторов  и , взятых в данном порядке, называется такой вектор , который в сумме со вторым вектором дает первый вектор. Докажем существование и единственность разности. Существование. Отложим векторы  и  от одной и той же точки : Применяя равенство  для точек  получаем Полагая , будем иметь . Этим доказано существование разности. Единственность. Пусть существует еще вектор  такой, что . Тогда . Прибавим к обеим частям этого равенства вектор . Получим Таким образом, доказано существование и единственность разности любых двух векторов, при этом эта разность обозначается . Замечание 4.1. Из доказательства существования разности векторов можно сформулировать правило нахождения разности двух векторов: Разностью двух данных векторов, отложенных из одной точки является вектор, идущий из конца второго в конец первого.

Отметим еще равенство  В самом деле,