1 Направленные отрезки

Определение 1.1. Отрезок называется направленным (сокращенно НО ), если учитывается порядок задания его концов.

Пусть  и  — концы НО.  — первый — начало НО,  — второй — конец НО. Будем обозначать через  направленный отрезок с концами  и . Если концы  и  совпадают, то НО называется нулевым или вырожденным и мы пишем  или  .

Определение 1.2. Длиной направленного отрезка  будем называть длину соответствующего обычного отрезка. Длину направленного отрезка будем обозначать через  . В частности, .

Определение 1.3. Два невырожденных направленных отрезка  и  называются коллинеарными,если прямые  и  или параллельны, или совпадают. Вырожденный направленный отрезок считается коллинеарным любому направленному отрезку.

Коллинеарные отрезки обозначаются  .

Определение 1.4. Будем говорить, что два невырожденных направленных отрезка  и , лежащих на параллельных прямых, имеют одинаковое (противоположное) направление, если точки  и  лежат по одну (по разные) стороны от прямой  .

Определение 1.5. В случае, если невырожденные направленные отрезки  и  лежат на одной прямой  , они имеют одинаковое направление, если на любой прямой  , параллельной  найдется невырожденный направленный отрезок , имеющий одинаковое направление с каждым из направленных отрезков  и . Если же любой невырожденный отрезок  (лежащий на прямой  , параллельной прямой  ) имеет одинаковое направление с одним из отрезков  и  и противоположное сдругим, то направленные отрезки  и  имеют противоположное направление.

Условимся считать, что вырожденный направленный отрезок имеет одинаковое направление с любым напраленным отрезком. Одинаково направленные (сонаправленные)отрезки обозначаются , а противоположно направленные  .

Определение 1.6. Два направленных отрезка  и  называются эквиполентными, если

1)  ;

2)  ;

3) .

Эквиполентные направленные отрезки мы обозначаем .

ЛЕММА 1.1. (признак эквиполентности направленных отрезков)

Необходимым и достаточным условием эквиполентности направленных отрезков  и  является совпадение середины отрезка  с серединой отрезка .

Доказательство необходимости. Дано  .Пусть  — середина отрезка  . Рассмотрим центральную симметрию  относительно точки . Совершенно очевидно, что каждый направленный отрезок  при центральной симметрии переходит в направленный отрезок , такой, что . Пусть  — точка, в которую при преобразовании  перейдет точка . Так как точка  переходит в точку , то направленный отрезок  перейдет в направленный отрезок  и, значит, точки  и  совпадают, т.е. точка  является также и серединой отрезка .

Доказательство достаточности. Предположим, что середина отрезка  совпадает с серединой отрезка . Обозначим их общую середину через  . Значит при преобразовании  симметрии относительно точки  точка  перейдет в точку  , а точка  перейдет в точку  , поэтому .

2 Понятие вектора

Приведем одну теорему, доказательство которой очевидно.

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть  — множество направленных отрезков в пространстве. Отношение эквиполентности на  является отношением эквивалентности, т.е. удовлетворяет трем условиям:

1)  — рефлексивно, т.е.  ;

2)  — симметрично, т.е. если  , то ;

3)  — транзитивно, т.е. если  и  , то  .

Из теоремы 2.1. следует, что  разбивается отношением  на непересекающиеся классы. Получаем фактор-множество .

Элементами множества  являются классы эквиполентных между собой направленных отрезков.

Определение 2.1. Вектором или свободным вектором называется множество эквиполентных между собой направленных отрезков.

Пусть  — направленный отрезок, тогда класс направленных отрезков эквиполентных ему мы называем вектором и обозначаем . Вектор  заполняет все пространство,а  — это представитель вектора  Векторы мы будем обозначать еще и малыми латинскими буквами . Нулевым направленным отрезком  определяется нулевой вектор . Длиной вектора естественно считается длина направленного отрезка (представителя), т.е. . Длина нулевого вектора считается равной нулю. Вектор называется единичным, если его длина равна единице.

Заметим, что запись  (читается "вектор  равен вектору ") означает, что множество  совпадает с множеством , т.е.  и  --- один и тот же вектор, но по-разному обозначенный. В частности, запись  означает, что  и  --- один и тот же вектор (т.е. что отрезки  и  эквиполентны). Имеет место следующая лемма о равенстве векторов.

ЛЕММА 2.1. (признак равенства векторов) 

Если , то .

Доказательство.  середины отрезков  и  совпадают (см. Лемму 1.1.). Но тогда середины отрезков  и совпадают, значит,  (см. Лемму 1.1.). Другими словами, .

Отложить вектор  от точки  — значит построить направленный отрезок  , входящий в класс направленных отрезков, образующих вектор 

ЛЕММА 2.2. (откладывание вектора от точки) 

Для любого вектора  и любой точки  существует единственная точка  такая, что .

Доказательство. Сначала докажем конструктивно, что такая точка существует. Пусть  — представитель вектора  . Построим середину отрезка  точку . Далее строим точку , симметричную точке  относительно точки . Точка  искомая, так как середины отрезков  и  совпадают, то по лемме 1.1. , значит, . Осталось доказать единственность. Предположим, чтосуществует еще одна точка  такая, что . Тогда получаем , следовательно, по лемме 2.1. . Поэтому точки  и  совпадают.

Определение 2.2. Говорят, что вектор  параллелен прямой , если любой его представитель либо параллелен этой прямой, либо лежит на ней.

Определение 2.3. Векторы  и  называются коллинеарными, если они параллельны одной и той же прямой (мы пишем ).

Очевидно, что если  , то они либо сонаправлены  (если сонаправлены любые их представители), либо противоположно направлены (если противонаправлены любые их представители). Снова условимся считать, что нулевой вектор сонаправлен любому вектору  .

Определение 2.4. Пусть произвольный вектор и  — его представитель,тогда вектор . Вектор

 называется противоположным к вектору 

и обозначается .

Очевидно, что  противоположен вектору , т.е.

.