8. Системы дифференциальных уравнений

Система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида

, , (8.1)

где - независимая переменная; -неизвестные функции пере-менной , называется нормальной системой. Считается, что функции определены в некоторой области D переменных .

Число n называется порядком нормальной системы (8.1). Две системы дифференциальных уравнений называются эквивалентными, если они обладают одними и теми же решениями.

Частным решением системы на интервале называется совокуп-ность любых n функций

определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале , если они обращают все уравнения системы (8.1) в верные равенства при всех значениях .

Задачей Коши для системы (8.1) называется задача нахождения решения

,

удовлетворяющего начальным условиям

(8.2)

где точка - фиксирована.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Пусть имеется нормальная система дифференциальных уравнений (8.1) и пусть функции определены в ()-мерной области D изменения переменных .

Если функции непрерывны и имеют ограниченные частные производные по переменным в D, то найдется интервал , в котором существует единственное решение системы (8.1), удовлетворяющее начальным условиям (8.2).

Система, состоящая из n дифференцируемых функций

, (8.3)

независимой переменной и произвольных постоянных называется общим решением нормальной системы (8.1), если:

1) при любых допустимых значениях система функций (8.3) обращает уравнения (8.1) в тождества,

2. любое частное решение может быть получено соответствующим подбором постоянных .

Нормальная система n уравнений первого порядка

сводится к одному уравнению прядка . На этом основан один из методов интегрирования систем дифференциальных уравнений – метод исключения.

Метод исключения состоит в следующем. Из уравнений системы и уравнений, получающихся дифференцированием уравнений системы, исключаем все неизвестные функции, кроме одной. Для неё получаем одно ОДУ более высокого порядка. Решая полученное уравнение, определяем одну из функций, а остальные находим без интегрирования, из исходных уравнений и их следствий.

Проиллюстрируем этот метод на примере системы второго порядка.

(8.4)

Здесь - постоянные; - заданные функции; - искомые функции.

Из первого уравнения системы (8.4) находим:

. (8.5)

Подставив во второе уравнение системы вместо правую часть выражения (8.5), а вместо - её производную, получим уравнение второго порядка относительно :

,

где - постоянные. Из этого уравнения находим . Подставив и в уравнение (8.5), найдем .

Пример 8.1. Решить систему уравнений:

(8.6)

Решение. Из первого уравнения системы (8.6) находим

откуда

Подставив это во второе уравнение системы (8.6), получим линейное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

.

Его общее решение находим изученными ранее методами:

.

Подставив его производную в выражение для y, получаем

,

Метод наxождения интегрируемыx комбинаций. Пусть имеется система дифференциальных уравнений:

, . (8.7)

Суть метода состоит в том, что с помощью подходящих ариф-метических операций из уравнений системы (8.7) образуются комбинации, которые достаточно просто проинтегрировать.

Каждая комбинация дает один интеграл системы. Если найдены независимых интегралов, то интегрирование системы закончено. Если найдено меньшее число интегралов, то система (8.7) сводится к системе с меньшим числом неизвестных.

Пример 8.2. Решить систему уравнений:

(8.8)

Решение. Складывая оба уравнения, получим

откуда

.

Вычитая уравнения, получим

.

Интегралы и независимы, если определитель Якоби их системы отличен от нуля:

.

Общий интеграл системы (8.8)

. (8.9)

Решая систему (8.9) относительно и , получим общее решение системы уравнений (8.8).

Пример 8.3. Найти частное решение системы:

удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Запишем данную систему в виде:

или

Складывая последние уравнения, получаем

или ,

откуда

.

Подставив во второе уравнение, найдем

откуда .

Выразив и из полученных интегралов, запишем общее решение

(8.10)

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям; подста-вив в (8.10), получим

откуда

Искомое частное решение:

Б. 4324.1. Решить систему уравнений:

Решение ищем методом исключения, преобразуя систему в уравнение второго порядка. Выразим y из первого уравнения и подставим во второе:

,

или

.

Характеристическое уравнение:

корни

Общее решение:

.

Подставив найденное в выражение для , получим

Общее решение системы:

Решить самостоятельно Б. 4324.2, Б. 4324.3, Б. 4324.4, Б. 4326, Б. 4331,