4. Особые решения дифференциальных уравнений. Огибающая семейства интегральных кривых. Уравнения клеро и лагранжа. Другие типы дифференциальных уравнений, решаемых методом введения параметра

Решение дифференциального уравнения

(4.1)

называется особым, если в каждой его точке нарушается свойство единственности, т.е. если через каждую его точку , кроме этого решения, проходит и другое решение, имеющее в точке ту же касательную, но не совпадающее с решением в сколь угодно малой окрестности точки . График особого решения будем называть особой интегральной кривой.

Если две кривые и имеют общую точку и в этой точке общую касательную, то говорят, что кривые касаются в этой точке.

Условия касания кривыx:

.

Кривая, которая касается каждой кривой семейства

в одной или нескольких точках и притом вся состоит из точек касания, называется огибающей данного семейства. ( - непрерывно дифференцируемая функция.)

Теорема. Пусть - семейство кривых, причем

в точке .

Тогда в некоторой окрестности точки , точки, лежащие на огибающей этого семейства кривых, удовлетворяют системе:

(4.2)

Замечание. Теорема утверждает, что если - огибающая, то всякая её точка удовлетворяет (4.2). Обратное неверно, т.е. определяемая (4.2) кривая может и не быть огибающей. (Теорема даёт лишь необходимое условие огибающей.) Из решений системы (4.2) огибающие отбираются непосредственной проверкой условий касания.

Если из уравнений системы (4.2) удается исключить параметр C, то уравнение огибающей получается в явном виде, как .

Пример 4.1. .

Это уравнение описывает семейство окружностей радиуса , центры которых лежат на оси OX, а параметр есть смещение центров относительно начала координат.

Продифференцировав уравнение по параметру , получим . Подставив в уравнение и исключив тем самым параметр , получим , или иначе и - уравнения двух огибающих семейства кривых.

Красивый наглядный пример особого решения дает уравнение Клеро, имеющее вид

. (4.3)

При интегрировании его применим метод введения параметра. Приняв y'= p и подставив в (4.3), получим

. (4.4)

Далее, продифференцировав уравнение (4.4) по переменной , получим

,

откуда

.

Здесь либо 1) , либо 2) .

Из 1) следует . Подставив это в уравнение (4.4), получим - уравнение семейства прямых с угловым коэффициентом , пересекающих ось OY в точках .

2. и решение можно представить в параметрическом виде:

(4.5)

где . Нетрудно увидеть, что интегральная кривая, определяемая (4.5), является огибающей семейства прямых .

Действительно, в этом случае и огибающая определяется уравнениями и , или

(4.5')

где , что отличается от (4.5) лишь обозначениями.

Если удается исключить С из (5'), то особое решение можно получить в явном виде.

Пример Б 4119

. (4.6)

Решение. Подставим , получим

. (4.6')

Продифференцировав по, имеем

,

откуда

; ; ; .

Подставив в выражения для и , получим систему уравнений:

(4.7)

подставив в первое уравнение, найдем

(4.8)

Это – уравнение параболы, симметричной относительно оси OX. Семейство прямых, описываемых первым уравнением системы (4.7), есть семейство касательных к этой параболе. Таким образом, парабола (4.8) может рассматриваться как огибающая семейства собственных касательных. Такое геометрическое истолкование характерно для уравнения Клеро.

Пример 4.3. .

Это - уравнение Лагранжа. Его канонический вид

.

Решаем его методом введения параметра с последующим дифференцированием по переменной . Получаемое соотношение оказывается линейным неоднородным уравнением первого порядка относительно функции и её производной .

В результате интегрирования этого уравнения общее решение получается в параметрической форме, как система функций

, .

Решение. Полагаем , тогда

. (4.9)

Дифференцируя, находим ,откуда

(4.10)

Это - линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции и её производной . Однородное уравнение

решаем методом разделения переменных. Получаем:

; ; .

Решение неоднородного уравнения находим методом вариации произволь-ной постоянной в виде . Подставив последнее в неоднородное уравнение (4.10), имеем:

;

после сокращений

, , , . (Здесь .)

Подставив найденное выражение для в выражение для (4.9), найдем общее решение уравнения Лагранжа в параметрической форме:

.

Методом введения параметра удаётся интегрировать и другие типы дифференциальных уравнений, например, вида

или .

Если эти уравнения можно разрешить относительно , то получаются уравнения с разделяющимися переменными. В противном случае проинтегрировать уравнения иногда возможно методом введения параметра.

А. Уравнение вида разрешимо относительно y:

.

Полагаем , тогда . Дифференцируем последнее урав-нение и , заменив dy на p dx, получаем , откуда

и , .

Это - общее решение дифференциального уравнения в параметрической форме.

Пример 4.4.

(a и b – постоянные).

Решение. Положим , тогда .

или ,

откуда

и .

Общее решение будет иметь вид:

.

В. Уравнение вида разрешимо относительно , т.е. . Полагая , получим . Кроме того, т.е. и . Проинтегрировав, найдем общее решение дифференциального уравнения в параметри-ческой форме:

, .

Пример 4.5.

Решение. Положим , тогда ,

В итоге

, .

Б. 4117. .

Решение. Это - уравнение Клеро. После введения параметра уравнение имеет вид:

. (4.11)

Взяв полный дифференциал и заменив на , получим:

, откуда .

Если , то .

Подставив в (4.11), получаем

, (4.12)

подставив в уравнение , имеем

. (4.13)

Очевидно, что (4.13) может быть получено из (4.12) дифферен-цированием по параметру C, следовательно, в соответствии с изложенным ранее, система уравнений (4.12), (4.13) в параметрической форме описывает особое решение уравнения, графиком которого является огибающая семейства прямых, заданных общим решением (4.12).

Исключив параметр C из системы уравнений (4.12), (4.13), найдем урав-нение огибающей в явном виде:

.

Б. 4123. .

Решение. Введем параметр , получим

. (4.14)

Дифференциал последнего

,

откуда

.

Если , то, сократив на , получим уравнение:

с разделяющимися переменными. Далее

,

откуда

Подставив p в (4.14), находим:

. (4.15)

Если , то из соотношения (4.14) очевидно, что есть частное решение уравнения. Оно является и особым решением. Графиком решения является ось OX, и в каждой точке графика нарушается условие единственности решения, так как каждая из интегральных кривых, определяемых общим решением (4.15), пересекает ось OX.

Примеры для самостоятельного решения: Б. 4118, Б. 4120, Б. 4122, Б. 4125