-
Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
Дифференциальное уравнение
(3.1)
называется
уравнением в полныx дифференциалаx,
если его левая часть представляет
собой полный дифференциал некоторой
функции
,
т.е.
Теорема. Пусть функции
,
непрерывны
в односвязной области D плоскости
XOY. Выражение
есть полный дифференциал только
тогда, когда выполнено условие
в D. (3.2)
Пример 3.1.
. (3.3)
Решение. Проверим, является ли (3.3) уравнением в полных дифференциалах:
=
=
следовательно,
,
т.е. данное уравнение - в полных
дифферен-циалах и
,
поэтому
=
.
Частную производную
найденной функции
приравняем Q(x,y)
=
cos
xy,
что даёт
cos
xy
+ f'
=
cos xy,
откуда следует:
;
,
и
.
Общий интеграл уравнения:
,
.
При интегрировании некоторых дифференциальных уравнений можно так сгруппировать члены, что получатся легко интегрируемые комбинации. В частности, можно выделять полные дифференциалы, используя известные формулы:
,
,
и
т.п.
Пример 3.2.
.
(3.4)
Решение. Здесь
,
,
следовательно, (3.4) – уравнение в полных
дифференциалах. Сгруппируем его члены
так:
Тогда
,
,
и уравнение (3.4) можно записать в виде:
или
Следовательно,
есть общий интеграл дифференциального уравнения (3.4).
Интегрирующий множитель.
Если условие
не выполнено, то дифференциальное
уравнение
не является
уравнением в полных дифференциалах.
Однако это уравнение иногда можно
превратить в уравнение в полных
дифференциалах, умножив его на подходящую
гладкую функцию
.
Такая функция носит название интегрирующий
множитель. Интегрирующий множитель
не всегда бывает легко найти.
Чтобы уравнение
было уравнением в полных дифференциалах,
должно быть выполнено условие:
,
или
откуда следует
. (3.5)
Если
зависит только от
(не зависит от
),
то можно искать частное решение (3.5) в
виде
.
При этом
и (3.5) примет вид:
(3.6)
откуда
интегрированием получим
.
Аналогичное соотношение для случая
имеет вид
. (3.7)
Уравнение
(3.7) можно проинтегрировать, если его
правая часть не зависит от
.
Пример 3.3.
.
Решение.
,
.
Интегрирующий
множитель ищем в виде
,
имеем:
следовательно, из (3.6):
,
.
Уравнение
в полных дифференциалах, его можно представить так:
откуда
.
Общее решение:
.
Б. 4050.
.
(3.8)
Решение. Проверим, является ли уравнение уравнением в полных дифференциалах. Здесь
,
следовательно,
(3.8) есть полный дифференциал некоторой
функции
и
.
Найдем
с точностью до неизвестной функции
,
проинтегрировав по
первую половину выражения (3.8):
.
Чтобы найти
,
продифференцируем полученное выражение
по
и сравним найденное значение
с
.
и
следовательно,
и
,
есть общий интеграл уравнения (3.8).
Б. 4058.
.
Решение. В этом примере попытаемся "подобрать" интегрирующий множитель. Так как
,
то уравнение можно преобразовать следующим образом:
Умножив это
выражение на интегрирующий множитель
,
получим уравнение в полных дифференциалах
.
Проинтегрировав,найдем общий интеграл:
,
,
.
Примеры для самостоятельного решения: Б. 4051, Б. 4052, Б. 4053, Б. 4059, Б. 4060, Б. 4063.