-
Основные понятия и определения. Простейшие типы дифференциальных уравнений
Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, которое помимо неизвестных функций содержит их производные (или дифференциалы).
Если неизвестные функции, входящие в ДУ, зависят только от одной независимой переменной, то ДУ называется обыкновенным ДУ (ОДУ).
Другими словами: пусть
- независимая переменная,
- искомая функция,
- заданная функция
переменных.
Уравнение
, (1.1)
где
называется обыкновенным дифференциальным
уравнением относительно функции
на промежутке
.
Если
,
то число n
называется порядком уравнения (1.1).
Функция
называется частным решением ОДУ (1.1),
если после замены
на
,
на
,...,
на
уравнение обращается в тождество на
промежутке
.
(Предполагается, что
- достаточно гладкая функция.)
Например, функция
является решением уравнения
на всей оси ОX.
В самом деле, подставив в уравнение
и
,
получим тождество:
.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. ДУ вида
,
(1.2)
где
определена в области D на плоскости
XOY, называется ОДУ первого порядка,
разрешенным относительно производной.
Задачей Коши называют задачу
нахождения решения
уравнения (1.2), удовлетворяющего начальному
условию
,
где
.
Геометрически это означает, что ищется
интегральная кривая, проходящая через
заданную точку
.
Теорема
существования и единственности решения
задачи Коши. Пусть дано дифференциальное
уравнение
,
где функция
определена в некоторой области D
плоскости XOY, содержащей точку
.
Если функция
удовлетворяет условиям:
а)
есть непрерывная функция двух переменных
и
в области D,
б)
имеет частную производную
,
ограниченную в области D; то найдётся
интервал
,
на котором существует единственное
решение
данного уравнения, удовлетворяющее
условию
.
Теорема даёт достаточные условия
существования единственного решения
задачи Коши для уравнения
,
но эти условия не являются необходимыми,
т.е. может существовать единственное
решение уравнения
,
удовлетворяющее условию
, хотя в точке
не выполняются условия а) или б).
Пример 1.1.
. Здесь
не существует при
.
Условие б) не выполняются, так как
частная производная имеет разрыв при
(на оси OX). Тем не
менее, через каждую точку оси
проходит единственная интегральная
кривая
.
Вместе с тем, совсем отбросить условие б) нельзя.
Пример 1.2.
,
.
Частная производная
не ограничена при
,
т.е. условие б) не выполнено. Рассматриваемая
задача Коши имеет два решения
и
,
что проверяется подстановкой в уравнение.
Общим решением дифференциального
уравнения
называется функция
,
зависящая от одной произвольной
постоянной С , если
1) функция
удовлетворяет дифференциальному
урав-нению при любых допустимых значениях
С;
2) для любого частного решения
уравнения (1.2) можно подобрать постоянную
C , такую, что
на
.
Общим
интегралом ОДУ (1.2) называется
соотношение вида
,
если функция
,
найденная из него, есть общее решение
ОДУ (1.2). Функция трех переменных
считается определенной на множестве
,
.
Общее решение дифференциального уравнения определяет в плоскости XOY семейство интегральных кривых, зависящих от произвольной постоянной С. Частному решению соответствует фиксированная интегральная кривая.
Пример 1.3. Проверить, что функция
есть общее решение дифференциального
уравнения
и найти частное решение, удовлетворяющее
начальному условию
.
Дать геометрическое истолкование
результата.
Решение. Функция
удовлетворяет данному дифференциальному
уравнению при любых значениях постоянной
С, так как
.
Полагая
и
, получим частное решение
.
Общее решение
определяет в плоскости XOY семейство
параллельных наклонных прямых с угловым
коэффициентом
,
частное решение
определяет наклонную прямую, проходящую
через начало координат.
Уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида
называется уравнением с разделенными переменными.
Уравнение вида:
называется уравнением с разделяющимися переменными.
Делением на произведение
оно приводится к уравнению с разделенными
переменными
.
Замечание. Деление на произведение
может привести к потере частных решений,
обращающих в нуль произведение
.
Пример 1.4.
.
Решение. Разделив обе части уравнения
на
,
получим
,
уравнение с разделёнными переменными. Интегрируя его, получим
.
После потенцирования получим
.
Обозначая
,
будем иметь общий интеграл в таком виде:
, или
При делении
на
могли быть потеряны решения, обращающие
в нуль это выражение, именно
и
.
Непосредственной подстановкой в
дифференциальное уравнение убеждаемся,
что
и
являются решениями уравнения.
Окончательный ответ будет таким:
Рассмотрим примеры. (Буква Б перед номерами задач означает, что пример из задачника Бермана.)
Б. 3903. Найти общее решение уравнения:
Запишем уравнение в таком виде:
.
Интегрируя, получим общее решение уравнения
,
,
Однородные уравнения.
Дифференциальное уравнение
называется однородным, если его
можно представить в виде
.
Вводя новую
переменную
имеем
,
В уравнении можно разделить переменные:
Пример 1.5.
.
Решение. Пусть
,
или
,
Тогда
Подставляя в уравнение
и
,
получим
.
Разделив переменные, проинтегрируем
или
,
а так как
,
то, обозначая
,
получаем
,
где
.
После обратной
замены переменных
получим
или
При разделении переменных имело место
деление на выражение
,
что могло привести к потере решений,
обращающих в нуль это выражение. Здесь
- независимая переменная, а из
следует
,
откуда
.
Проверкой убеждаемся, что функции
и
также являются решениями дифферен-циального
уравнения, поэтому общее решение:
,
,
.
Б. 3935. Найти общее решение уравнения
.
Это уравнение является однородным.
Положим
,
тогда
.
Подставив
в уравнение, получим
Это - уравнение с разделяющимися переменными. После простых преобразований имеем:
.
В результате интегрирования
.
Возвращаясь к старым переменным, находим
,
C > 0.
Б. 3937.
Это - однородное уравнение. Замена
переменных
,
позволит разделить переменные
(В числителе первого интеграла прибавили
и вычли
и разделили почленно.) После интегрирования
имеем:
Возвращаясь к старым переменным, получим
.
Дифференциальное уравнение следующего вида:
,
где
-
постоянные, а
- непрерывная функция, может быть
приведено к однородному. Если
,
то уравнение является однородным и
интегрируется, как рассмотрено ранее.
Если же хотя бы одно из чисел
или
отлично от нуля, то дифференциальное
уравнение приводится к однородному
подстановкой
,
где
и
- решения системы уравнений
при
.
Если же
определитель системы равен нулю, то
коэффициенты при неизвестных
и
пропорциональны
и дифференциальное уравнение имеет вид
.
Подстановка
приводит его к уравнению с разделяющимися
переменными.
Пример 1.6.
.
Решение. Рассмотрим систему линейных уравнений:
Определитель системы:
.
Решение системы:
.
Замена переменных
,
приводит дифференциальное
уравнение к виду
.
Уравнение -
однородное. Пусть
тогда
и
,
откуда следует:
.
Разделим переменные:
.
Интегрируя, получим
или
.
Подставив в
последнее выражение
, имеем:
.
Возвратившись
к исходным переменным
;
получим:
.
Пример 1.7.
.
Решение. Система линейных алгебраических уравнений
несовместна.
Применим подстановку
,
тогда
и уравнение примет вид
.
После разделения переменных:
откуда
,
и, после перехода к исходным переменным,
,
.