Тема 2.2. Дифференциальное исчисление.

1. Понятие производной функции и ее геометрический смысл.

2. Производные обратной и сложной функции.

3. Правила и формулы дифференцирования.

4. Приложения производной функции.

Пункт 1. Понятие производной функции и ее геометрический смысл.

Пусть функция определена на промежутке . Точка - произвольная точка из области определения функции,   - приращение функции в точке , вызванное приращением независимой переменной . 

Производной функции по независимой переменной в точке ,  называется предел отношения приращения функции к приращению при стремлении к нулю, т.е.  

Обозначение:

Дифференцирование - операция нахождения производной.

Чтобы вычислить производную функции в точке х_о, нужно в общее выражение производной вместо независимой переменной х подставить числовое значение

х = х_о, т.е. вычислит значение f’(x_o). Таким образом, производная в данной точке х_о есть число.

Геометрический смысл производной: Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке и ее уравнение имеет вид.

Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки . Рассмотрим приращение функции в этой точке: . Функция называется дифференцируемой в точке, если ее приращение можно записать в виде , где - приращение независимой переменной,

А – постоянная, не зависящая от , - бесконечно малая функция при .

Дифференциалом функции в точке называется линейная по часть приращения . Дифференциал обозначается   , то есть .

Другими словами, дифференциал функции выражается формулой  .

Производной второго порядка от функции называется производная от ее производной:   . Аналогично определяют производную любого порядка:  .

Пункт 2. Производные обратной и сложной функций.

Пусть   - функция, дифференцируемая в точке  ,  - функция, дифференцируемая в точке  , причем  . Тогда  - сложная функция независимого переменного , дифференцируема в точке    и ее производная в этой точке вычисляется по формуле   .

Обычно    называют внешней функцией, а - внутренней. При вычислении производной сложной функции сначала дифференцируют внешнюю функцию, не обращая внимания на внутреннюю (ведь она может быть любой), затем умножают на производную конкретной внутренней функции.

Пусть функция дифференцируема и строго монотонна на . Пусть также в точке производная . Тогда в точке   определена дифференцируемая функция , которую называют обратной к  , а ее производная вычисляется по формуле .

Пункт 3. Правила и формулы дифференцирования.

Правила дифференцирования

Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1. (с) ' = 0,

2. (cu) ' = cu';

3. (u+v)' = u'+v';

4. (uv)' = u'v+v'u;

5. (u/v)' = (u'v-v'u)/v^2;

Формулы дифференцирования

1. (uⁿ)' = n u^n-1 u'

2. (a^u)' = a^u lna u'.

3. (e^u)' = e^u u'.

4. (log_a u)' = u'/(u ln a).

5. (ln u)' = u'/u.

6. (sin u)' = cos u u'.

7. (cos u)' = - sin u u'.

8. (tg u)' = 1/ cos²u u'.

9. (ctg u)' = - u' / sin²u.

10. (arcsin u)' = u' /.

11. (arccos u)' = - u' /.

12. (arctg u)' = u'/(1 + u²).

13. (arcctg u)' = - u'/(1 + u²).

Примеры:

Вычислите производную функции.

1. .

.

.

.

.

.

.

Вычислите производную сложной функции.

11. , где .

12. , где .

13. , где .

14. , где .

15. , где .

16. , где .

Вычислить вторую производную функции.

.

Вычислить дифференциал функции.

24. ; .

26. ;

Пункт 4. Приложения производной.

Функция называется возрастающей на интервале , если для любых x₁ и x₂ из этого интервала, для которых , верно неравенство .

Функция называется убывающей на интервале , если для любых x₁ и x₂ из этого интервала, для которых , верно неравенство .

Необходимое условие возрастания функции. Если функция дифференцируема и возрастает на интервале , то для всех из этого интервала.

Необходимое условие убывания функции. Если функция дифференцируема и убывает на интервале , то для всех из этого интервала.

Достаточное условие возрастания (убывания функции). Пусть функция дифференцируема на интервале . Если во всех точках этого интервала , то функция возрастает на этом интервале, а если , то функция убывает на этом интервале.

Точка x = x₀ называется точкой максимума, а число — максимумом функции, если для всех точек из некоторой окрестности точки x₀ , не совпадающих с x₀ , выполняется неравенство .

Точка x = x₀ называется точкой минимума, а число — минимумом функции, если для всех точек из некоторой окрестности точки x₀ , не совпадающих с точкой x₀ , выполняется неравенство .

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Необходимое условие существования экстремума

Если x₀ — точка экстремума, то производная в этой точке равна нулю или не существует.

Достаточное условие существования экстремума

Если функция непрерывна в точке x = x₀ , дифференцируема в некоторой окрестности этой точки, и при переходе через точку x₀ производная меняет знак, то x = x₀ — точка:

а) — максимум, если , при и , при .

б) — минимум, если , при и , при .

Число называется наибольшим значением функции на отрезке , если для всех из этого отрезка выполняется неравенство ; число называется наименьшим значением функции на отрезке , если для всех из этого отрезка выполняется неравенство .

Функция принимает свое наибольшее или наименьшее значение в точках экстремума или на границе. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке руководствуются следующим правилом: находят все критические точки функции (производная равна нулю), лежащие внутри отрезка, и находят значения функции в этих точках и на концах отрезка. Наибольшее из этих значений будет наибольшим, а наименьшее из этих значений — наименьшим значением функции на отрезке.

Пример.

27. Найти наименьшее и наибольшее значение функции: на отрезке .

Решение.

Находим и приравниваем к нулю: или .

Решая уравнение, находим критические точки , причем обе лежат внутри отрезка.

Находим значение функции . Наибольшее значение равно 4, а наименьшее -5.

Если график функции имеет касательную в точке x = x₀ , и в некоторой окрестности этой точки он лежит ниже касательной, то он называется выпуклым в точке x₀ ; a если в некоторой окрестности этой точки он лежит выше касательной, то он называется вогнутым.

График называется выпуклым (вогнутым) на интервале , если он выпуклый (вогнутый) в каждой точке этого интервала.

Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции. Если функция дважды дифференцируема на интервале и для каждого , то график функции является выпуклым (вогнутым) на этом интервале.

Точка называется точкой перегиба графика функции , если в этой точке существует касательная и это точка отделяет интервал выпуклости от интервала вогнутости.

Необходимое условие точки перегиба. Если x = x₀ — точка перегиба графика функции , то или не существует.

Достаточные условия точки перегиба. Если функция дважды дифференцируема, график этой функции имеет в этой точке касательную и при переходе через эту точку меняет знак, то x₀ — точка перегиба графика функции .

Асимптотой данной кривой называется такая прямая, при которой расстояние от точки на кривой до этой прямой стремится к нулю, при неограниченном удалении точки на кривой от начала координат.

Прямая x = x₀ является вертикальной асимптотой, если .

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид

, где .

План исследования функции

Если требуется построить график функции , то надо предварительно исследовать эту функцию. Для исследования рекомендуется следующий план:

1) найти область определения ;

2) найти точки разрыва, вертикальные асимптоты;

3) найти асимптоты;

4) найти точки пересечения графика с осями координат;

5) определить четность или нечетность , т.е. является ли график этой функции симметричным относительно оси ординат, или начала координат, или же такой симметрии нет;

6) найти экстремумы, интервалы возрастания и убывания;

7) найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости. На основании этого исследования строится график функции.

Если в каких-то местах ход графика остается неясным, то находят дополнительные точки на этом графике.

Пример.

28. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение:

1.

2. Точка разрыва , вертикальная асимптота .

3. Найдем невертикальную асимптоту .

Итак, уравнение невертикальной асимптоты .

4. При находим точку пересечения с осью ординат . При получаем уравнение . Это уравнение не имеет решений , следовательно, график не имеет пересечения с осью абсцисс .

5. Проверим, является ли функция четной или нечетной.

Функция не является ни четной, ни нечетной, поэтому у ее графика нет симметрии ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат.

6. Найдем точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.

Найдем критические точки, приравняв производную нулю:

Критические точки и . Эти точки разбивают область определения функции на четыре интервала. Рассмотрим результат исследования в таблице.

х	(–;-2)	–2	(–2;–1)	(–1;0)	0	(0;+)
y'	+	0	–	–	0	+
y	возрастает	max	убывает	убывает	min	возрастает

7. Определим интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Итак, не обращается в нуль ни в одной точке, следовательно, точек перегиба нет. Построим таблицу:

х	(–;–1)	(–1;+)
y'	–	+
y

Занесем все данные в одну общую таблицу:

х	(–;–2)	–2	(–2;–1)	(–1;0)	0	(–1;+)
y'	+	0	–	–	0	+
y'	–		–	+		+
y	возрастает	max –2	убывает	убывает	min 2	возрастает

Учитывая проведенное исследование, построим график: